【推荐3】直线分别交轴、轴于两点，直线与相交于点，与轴相交于点，如图．

（1）求点坐标；
（2）作平行于轴的直线分别交于两点，已知点的纵坐标为，若的面积等于面积的一半， 求的长；
（3）若点在线段上（可与重合），求点的取值范围．

【推荐2】如图1，直线y=x+6分别交x轴，y轴于点A，点B，点C、P分别是线段OB，AB的中点，动点D，E分别在直线CP和线段AB上，设点E的横坐标为m，线段CD的长为n（n>0），且m+n=6，以DO，DE为邻边作 ODEF．

(1)求点A和点P的坐标．
(2)如图2所示，当点D在点C左侧，且n=2时，求点F的坐标．
(3)当点F落在△AOB的边OB或AB上时，求点F的坐标．

【推荐1】如图，四边形OABC为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B落在OA边的点G处，折痕为EF，F点的坐标是(4，1)，∠FGA=30°

(1)求B点坐标.
(2)求直线EF解析式.
(3)若点M在y轴上，直线EF上是否存在点N，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，的平分线与轴相较于点，、两点关于轴对称．

（1）一动点从点出发，沿适当的路径运动到直线上的点，再沿适当的路径运动到点处．当的运动路径最短时，求此时点的坐标及点所走最短路径的长．
（2）点沿直线水平向右运动得点，平面内是否存在点使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】问题情境：如图1，P是外的一点，直线分别交于点A，B，则是点P到上的点的最短距离．

(1)探究证明：如图2，在上任取一点C（不与点A，B重合），连接，．求证：．
(2)直接应用：如图3，在中，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是_______．
(3)构造运用：如图4，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点为圆心，以1，2为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，直接写出的最小值为_____．

【推荐2】如图1，在等边三角形中，点分别在边上，，连接，与相交于．
   
(1)求证：；
(2)如图2，连接，当时，求证：；
(3)如图3，过点作，分别交于，比较与的大小并证明．

【推荐3】【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容：

(1)【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　         　．
(2)【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长．