如图，
中，点G、F分别是
、
的中点，点D是延长线上一点，点E，F，G在同一直线上，若
，求证：
．
中，点G、F分别是、的中点，点D是延长线上一点，点E，F，G在同一直线上，若，求证：．
更新时间：2024-06-11 12:49:23
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【推荐1】小明已经会用三角尺过直线外一点作已知直线的垂线，小明发现如果利用直尺和圆规，也可以实现．如图7，已知直线a，点P为直线a外一点，以下是小明的作图方法：
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；
②分别以点A、点B为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点
；
③作直线
，交直线a于点C．
试说明
的理由：
解：连接
、
、
、
．
在
与
中，
，
所以
（______）．（完成以下说理过程）
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；
②分别以点A、点B为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点；③作直线
，交直线a于点C． 试说明
的理由：解：连接
、、、．在
与中，，所以
（______）．（完成以下说理过程）
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名校
【推荐2】探索研究：已知：和
都是等边三角形．
(1)如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段
与
的数量关系为：__________，线段与所成的锐角度数为__________°；
(2)如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；
和都是等边三角形．(1)如图1，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段
与的数量关系为：__________，线段与所成的锐角度数为__________°；(2)如图2，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明（1）中的结论仍然成立；
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问题
，
作直线
平行于
，点
在直线
，
与直线
研究
和
，该数学兴趣小组运用第二种特殊情况，当
时，此时发现（1）的结论依然成立，请你写出证明过程；
的一般位置时，请证明（1）的结论依然成立．
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【推荐1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN．
（1）求证BM=MN；
（2）若∠BCN=135°，求∠BMN的度数．
（1）求证BM=MN；
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【推荐2】如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①若△APB是直角三角形，请在图1中画出点P的位置；
②当AB=1时，∠APB= °；
（2）如图2，若点P是⊙O外一点，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设
，
，试用
、
表示∠APB；
（3）如图3，过点A作射线AM⊥AB，AM交⊙O于点C，
①连接BC，求证：BC是⊙O的直径；
②若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD=2，E为BD的中点，在点D的运动过程中，直接写出线段AE长度的取值范围．
（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①若△APB是直角三角形，请在图1中画出点P的位置；
②当AB=1时，∠APB= °；
（2）如图2，若点P是⊙O外一点，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设
，，试用、表示∠APB；（3）如图3，过点A作射线AM⊥AB，AM交⊙O于点C，
①连接BC，求证：BC是⊙O的直径；
②若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD=2，E为BD的中点，在点D的运动过程中，直接写出线段AE长度的取值范围．
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