【推荐1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．

(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．
根据上述条件，回答下列问题：
(1)当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；
(2)当t=4时，求S的值；
(3)直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；
(4)若S=12，则t=　 　．

【推荐3】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y轴垂直，则称该等腰三角形为点P，Q的“伴随等腰三角形”．若P，Q为抛物线上的点，它的“伴随等腰三角形”记为，且底边，点M，Q均在点P的右侧，设点P的横坐标为m．
（1）若点M在这条抛物线上，求的面积；
（2）设P，Q两点的纵坐标分别为，，比较与的大小，并求m的取值范围；
（3）当底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标；
（4）若P，Q是抛物线上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN”以PN为底，且点N，Q均在点P的同侧（左侧或右侧），点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴的直线，．设点P的横坐标为，该抛物线在直线，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．