【推荐1】如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．

(1)求证：与相切；
(2)若，，，求的长.

【推荐2】如图，在中，为直径，，弦与交于点，在的延长线上有点，且．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，探究线段和之间的数量关系，并证明；

【推荐3】如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过作于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长；
（3）当，时，求的值．

【推荐1】如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点．交于点．且满足．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；
（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=____．
【问题解决】
（3）如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）