【推荐1】如图，在正方形中，点为延长线上一点且，连接，在上截取，使，过点作平分，，分别交于点、.连接.

（1）若，求的长；
（2）求证：.

【推荐2】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

(1)求证：∠APB=∠BPH．
(2)求证：AP+HC=PH．
(3)当AP=1时，求PH的长．

【推荐3】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：
（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；
（3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．

【推荐2】如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均为格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．

(1)在图1中，先将线段绕点C顺时针旋转，画出旋转后的对应线段；再在线段上画点F，连接，使；
(2)在图2中，M，N分别是网格线上和网格内的一点．先过点M画与平行的直线l；再在直线l上画一点P，使．

【推荐3】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，，，都在格点上，小正方形的边长为个单位长度，以格点为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)．
   
(1)如图1，画出线段绕点逆时针旋转后的图形与对应；
(2)如图1，点和点都在格点上，线段是由线段绕点顺时针旋转得到的与对应，请直接写出的坐标____________；
(3)如图2，取的中点，在线段上找点，使得；
(4)如图2，作点关于的对称点．

【推荐1】在中，，，为平面内的一点．

(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；
(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；
(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．

【推荐2】（1）如图1，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，把绕着点A顺时针旋转，点B的对应点是，点C的对应点为，连接，则______．
（2）如图2，在等边内有一点P，且，，，若把绕着点B逆时针旋转得到，求的度数和的长．
（3）如图3，把（2）中的“在等边内有一点P”改为：“在等腰直角三角形内有一点P”，且，，，，求的度数．
   

【推荐3】如图，在矩形中，，将矩形绕点按顺时针方向旋转角，得到矩形，与交于点，的延长线与交于点．
       
（1）如图①，当时，连接，求和的长；
（2）如图②，当矩形的顶点落在的延长线上时，求的长；
（3）如图③，当时，连接，求的值．