【推荐1】如图，在正方形中，，是对角线上的点，连接，过点作交于点，连接交于点．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．

【推荐2】已知为的直径，为上一动点，连接，，在的延长线上取一点，连接，使．

（1）如图1，若，求证：是的切线；
（2）如图2，延长交于点，连接．
①若的直径为，，求的长；
②若，求的值．

【推荐3】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．

（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，∆的面积最大，并求出其最大值；
（3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与∆相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．

【推荐2】抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上的动点，且位于第一象限，过点P作y轴的平行线交x轴于点M，连接，是否存在这样的点P，使得以点P、A、M为项点的三角形与相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点.
(1)求的值及直线的函数表达式；
(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.
①求证：；
②设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).