【推荐1】已知二次函数（m是常数）．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．
(2)若该函数的图象与函数的图象有两个交点，则b的取值范围为      ．
(3)该函数图象与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范围．

【推荐2】数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．
图①是二次函数y=（x﹣a）²+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！
（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为______；
（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O₁、P₁．若点P₁到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．
   

【推荐3】如图，抛物线与直线相交于点和点B．

(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点C是直线上的一个动点，将点C向右平移3个单位长度得到点D，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点C的横坐标的取值范围．