【推荐2】已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标      （直接写出）；
②求的最大值.

【推荐3】如图，已知点O，P分别为△ABC的边AB，BC上两点，且点A，C，P在⊙O上，点B，F，O在⊙P上连接FP并延长交AC的延长线于点D，交AB于点E．
（1）若∠ABC＝α，请将∠CAB用含α的代数式表示；
（2）若EP＝EB，∠CAB＝45°，求证：直线PF是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为，求的值．

【推荐1】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变换的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型.如图1，两个等腰直角三角形和，，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到．

学习小组继续探究：
（1）如图2，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接、，求证：；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在中，，将三角形旋转一定的角度（如图3），连接和，求证：；
（3）如图4，四边形中，，，，，，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长．

【推荐2】（1）如图1，在正方形中，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．则与之间的数量关系是                        ；

（2）若将（1）中的正方形改为矩形，如图2，矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）如图2，在矩形中，若，连接交于点，连接，当时，求的长．

【推荐3】如图，是的直径，点是上一点，且，与交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：是的平分线；
（3）在（2）的条件下，延长，交于点，若，，求的长．