【推荐2】如图1，已知矩形中，，，在、边上选取适当的点E、F，将沿对折，使O点落在边上的D点．

(1)当点E取在点A上，得图2，直接写出的长为______；
(2)在图3中过点D作交于点T，交于点G，连接，
①证明四边形是菱形；
②设长为x，请你利用所学的函数及其图象的有关知识判断，当x取什么值时，菱形的周长L取最大值并求出周长L的最大值．

【推荐3】问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．
   
动手实践：
（1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积．
深度探究：
（3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．
探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究②直接写出四边形面积的最小值．