【推荐1】如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、．
   
(1)求证：；
(2)当点P在边上移动时，求证：的周长是定值；
(3)当的长取最小值时，求的长．

【推荐2】问题背景：折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，应用于全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支，其中比较著名的芳贺折纸几何三定理，已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程以及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交与点．
则点为的三等分点，即．
   
问题解决：如图1，若正方形的边长是8．
(1)的长为________________．
(2)请通过计算的长度，说明点P是的三等分点．
类比探究：
(3)将矩形按照上面的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为的三等分点，则的值为__________．

【推荐3】如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．

(1)求证：．
(2)过点作交射线于点．
①求的度数；
②直接写出线段与之间的数量关系．