【推荐1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB延长线上一点，连接CD，且满足∠DCB＝∠A，tan∠DCB＝．
（1）如图1，若BC＝2，求CD的长．
（2）如图2，延长CB到E，使BC＝BE．过C作AB的垂线，垂足为F，交AE于G．若设BD长为a，请你用含a的代数式表示△DBC的面积，并直接写出△DBC与△CGE面积的比值．
       

【推荐2】如图，点A，B，C，D，E是平面直角坐标系的第一象限内的格点．
（1）在坐标系画出一个以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）写出符合（1）的所有点E的坐标．

【推荐3】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子表示∠APB的度数．
（3）如图3，C是函数 图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【推荐1】正方形的边长为，点分别是线段上的动点，连接并延长，交边于，过作，垂足为，交边于点．

（1）如图1，若点与点重合，求证：；
（2）如图2，若点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，运动时间为．
①设,求关于的函数表达式；
②当时，连接，求的长．

【推荐2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．

(1)当P，Q两点相遇时，t＝　 　秒；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

【推荐3】如图，在四边形中，，，，，垂直平分．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动，另一个点也停止运动，过点作，交于点，过点作，分别交，于点，，连接，．设运动时间为（单位：）．解答下列问题：

（1）当为何值时，点在的平分线上？
（2）设四边形的面积为（单位：），求与的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．