【推荐1】在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A，C重合），以AD，AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．


(1)如图1，当时，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．求证：；
(2)过点A作AP⊥直线CG于点P，连接BP，若，当点E不与AC中点重合时，求PA与PC的数量关系．

【推荐2】【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下：
在和中，
平分

≌（___________）
在括号内填写全等判定方法字母简称
（___________）
在括号内填写理由依据
【问题探究】
如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：；
【拓展延伸】
如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．

【推荐3】如图，与中，，，，，，连接、．
   
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，平分，求证：；
(3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．

【推荐1】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形．
   
(1)求证：；
(2)连接，若四边形的面积为，求的值；
(3)连接，记的周长为m，在（2）的条件下，请直接写出m的最小值．

【推荐3】如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与.

(1)求证：.
(2)求证：.
(3)如图2，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论.

【推荐1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是边AD、AB的中点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，过点F作FH∥BP，分别交EB、EP于G、H两点，将△EGH绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点），使直线MN恰好经过点B．
（1）求BP的长；
（2）△EBM与△EPN相似吗？说明理由；
（3）求α的大小．

【推荐2】已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时、猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）若BC＝6，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求出DF和DN的长．

【推荐3】（1）问题探究：如图1，在正方形中，点、、分别是、、上的点，且，求证：；
（2）类比应用：如图2，在矩形中，，，将矩形沿折叠使点落在点处，得到矩形．

①若点为的中点，试探究与的数量关系；
②拓展延伸：连，当时，，，求的长．