【推荐1】如图，在矩形中，，，点P从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿以向B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒．过点P作于点E，连接．

(1)______________________（用含t的代数式表示）．
(2)试说明：无论t为何值，四边形总是平行四边形．
(3)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．

【推荐2】如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且．

【推荐3】如果两个等腰三角形的顶角相等， 且顶角的顶点互相重合， 如图1， 等腰 与等腰中， ，我们把它们构成的这个图形叫做 “手拉手模型”．

(1)【模型探究】
如图1， 线段与线段存在怎样的数量关系？ 请证明你的结论．
(2)【应用模型】
如图2， 等腰直角三角形中， ， 点是边的中点， 直线 经过点，且 ， 点是直线上的动点， 将线段绕点顺时针旋转， 得到线段， 连结．
①如图3， 当点落在边上时， 求．
②直接写出在点运动过程中， 点和点之间的最短距离．

【推荐1】如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．

(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．

【推荐2】已知，如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD 于 M，请你通过观察和测量，猜想线段 AB、AC 之和与线段 AM 有怎样的数量关系，并证明你的结论.

【推荐3】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．

(1)求证：．
(2)若，，求的半径．

【推荐1】如图，以的边为直径作交于点，且是的中点，作于点，交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，等边三角形ABC的长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F,使CF=BC连接 CD和EF，

（1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形
（2）求四边形 BDEF 的周长和面积.

【推荐3】菱形的对角线相交于点O，E是边上的中点，过E作于F，过O作于G，连接．求证，四边形为矩形．
   

【推荐1】如图，⊙O的直径，，，是线段的中点．

（1）试判断点与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点作，垂足为点，求证：直线是⊙O的切线．

【推荐2】如图所示，是的直径，是上一点，平分交于，过作于．
   
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙，O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．

（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．