【推荐1】如图，已知在中，，，经过这个三角形重心的直线，分别交边、于点和点，是线段上的一个动点，过点分别作，，，垂足分别为点、、．设，四边形的面积为．
   
(1)求的长；
(2)求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)联结、，当与相似时，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴、y轴的交点分别为，抛物线过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C点后，立即返回，向方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段沿过点B的直线翻折，点A的对称点为，求的最小值．

【推荐3】如图，两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE有共同的直角顶点B，且cm，cm，过点C作，交DE于M，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q从点M出发，沿ME方向匀速运动，速度为1.5cm/s．设点P的运动时间为
解答下列问题：

(1)当t为何值时，点M在线段DQ的垂直平分线上？
(2)连接PQ，作于点H，于点N．
①当四边形PQNH为矩形，求t的值．
②连接QH，设△QPH的面积为S（cm²），求S与t之间的函数关系式．
(3)点Q在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．