【推荐1】已知抛物线与x轴只有一个公共点．
(1)若公共点坐标为，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：与抛物线交于点B、C两点（B点在C点的左侧），当时，直线l与抛物线的一个交点B在y轴上，且为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数k，的面积都不小于1.

【推荐2】如图，有长为24m的篱笆，围成矩形花圃（墙体的最大可用长度为12m）．

(1)如果围成的花圃的面积为54m²，试求AB的长；
(2)按照题目的设计要求，能围成面积比54m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

【推荐3】如图1放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为．如图2，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴．

(1)求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；
(2)如图3，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长；
(3)若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块（矩形的长边与轴共线或平行），然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度．（结果保留根号）