1 . （1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：；
（2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点；
①若，且，，求与的长；
②先阅读下面内容，再解决提出的问题：当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或．如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长．

2 . 图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线，，，均是抛物线的一部分．

素材1：某综合实践小组测量得到点，到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点的水平距离是3米；曲线的最低点到地面的距离是米，与点的水平距离是4米．
素材2：按图3的方式布置装饰灯带，，，，，布置好后成轴对称分布，其中，，，垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米．
(1)任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线的函数解析式；
(2)任务二：（2）若灯带长度为米，求的长度．（用含的代数式表示）；
(3)任务三：（3）求灯带总长度的最小值．

4 . 综合与实践
素材：一张边长为4的正方形纸片
步骤1：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
步骤2：再一次折叠纸片，点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，点在边上，过点作的垂线交射线于点．

(1)如题1图，若点落在边上，直接写出的度数；
(2)如题2图，设，，试求关于的函数表达式；
(3)如题3图，为的外接圆，若与边相切，求的长．

5 . 问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示

                    图1                                           图2
（1）的度数为____________；
（2）若，求的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．

7 . 在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答．
【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表：

…						…
…						…

   

①补全表格；
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象．
【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式．
【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．

8 . 一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．

(1)求关于的函数表达式；
(2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．

(1)求、的值；
(2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点．
①如果，求 的面积；
②如果，求的值．