1 . 问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片
，在
边上取一点
沿
翻折，使点
落在矩形内部
处；
第2步：再次翻折矩形，使
与
所在直线重合，点
落在直线上的点
处，折痕为
．
翻折后的纸片如图1所示
（1）
的度数为____________；
（2）若
，求
的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片
，其中
的一边与矩形纸片的一边重合，
，
，求该矩形纸片的面积．
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片
，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；第2步：再次翻折矩形，使
与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示
（1）
的度数为____________；（2）若
，求的最大值；拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片
，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．
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2 . 综合与实践
问题提出
中，
，
，点D在
上，
，点P沿折线
运动（运动到点C停止），以
为边作正方形
．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在
上运动时，若
，则
①
______，y关于x的函数关系式为______；
②连接
，则长为______．
（2）当点P在
上运动时，求y关于x的函数解析式．
延伸探究
（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使
时，图像上对应点的坐标为______；
②当
将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时
的长，以及自变量和函数的值．
问题提出
中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y．初步感悟
（1）当点P在
上运动时，若，则①
______，y关于x的函数关系式为______；②连接
，则长为______．（2）当点P在
上运动时，求y关于x的函数解析式．延伸探究
（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使
时，图像上对应点的坐标为______；②当
将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值．
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3 . 如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长
米），另三边用总长40米的栅栏围成．
时，劳动教育基地的最大面积为___________ 
；
（2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为___________ ．
，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成．
时，劳动教育基地的最大面积为；（2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，
的值为
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4 . 如图1，抛物线
与
轴交于点和点
，与
轴交于点
，且
，抛物线的对称轴为直线
．
(2)若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接，若
的面积为3，求点的坐标；
（ⅱ）如图3，连接，与交于点
，连接
，
，，求
的最大值．
与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．
(2)若
是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．（ⅰ）如图2，连接
，若的面积为3，求点的坐标；（ⅱ）如图3，连接
，与交于点，连接，，，求的最大值．
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5 . 如图，在平面直角坐标系
中，已知点
、点
，抛物线
经过点，且顶点在线段上（与点、
不重合）．
、
的值；
(2)将抛物线向右平移
（
）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点
．
①如果
，求 
的面积；
②如果
，求的值．
中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．
、的值；(2)将抛物线向右平移
（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点．①如果
，求 的面积；②如果
，求的值．
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6 . 如图，矩形中，点在上．动点
以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线段
运动．连接
，过点作
，交矩形的边于点，连接
．已知
，
，
．经探究，动点的运动路程为，线段与矩形的边围成三角形面积为
，它们之间满足二次函数关系．沿
运动的过程中，与的关系如图2所示，求此时关于的函数解析式；
(2)在动点由点A→D运动的过程中，当
时，点停止运动，如图3，求此时关于的函数解析式；
(3)在（1）与（2）的条件下，是否存在3个路程
，
，
，（
且
），使得3个路程对应的面积S均相等，请说明理由．
中，点在上．动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线段运动．连接，过点作，交矩形的边于点，连接．已知，，．经探究，动点的运动路程为，线段与矩形的边围成三角形面积为，它们之间满足二次函数关系．
沿运动的过程中，与的关系如图2所示，求此时关于的函数解析式；(2)在动点
由点A→D运动的过程中，当时，点停止运动，如图3，求此时关于的函数解析式；(3)在（1）与（2）的条件下，是否存在3个路程
，，，（且），使得3个路程对应的面积S均相等，请说明理由．
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7 . 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
活动课题 | 设计围篱笆的方案 |
活动工具 | 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 |
活动过程 | 【了解场地】如图，测出墙AD与墙AB的夹角是135°； 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足  ， ，且BC边上留一个1米宽的门EF；
 （虚线部分）的长度是15m． |
解决问题 | 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ |
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名校
8 . 问题提出
（1）如图①，在中，，
，
，过点作
，垂足为，则的面积是 ；
问题探究
（2）如图②，在中，
，的面积为
，为边
上任意一点，
，
分别与点关于
，
对称，求出五边形
周长的最小值；
问题解决
（3）某公园内有一块梯形空地
，如图③所示，现计划在该空地中种植花草，已知
，点，，分别在边，
，上，点到的距离为
米，
米，
，
，
，
．根据设计要求，需要在
区域内种植
元
平方米的花卉，其余区域内种植草坪，为提高花卉区域的观赏范围，需将的面积设计得尽可能大．试问的面积是否存在最大值？若存在，求此时种植花卉的总费用；若不存在，请说明理由．（参考数据：
）
（1）如图①，在
中，，，，过点作，垂足为，则的面积是 ；问题探究
（2）如图②，在
中，，的面积为，为边上任意一点，，分别与点关于，对称，求出五边形周长的最小值；问题解决
（3）某公园内有一块梯形空地
，如图③所示，现计划在该空地中种植花草，已知，点，，分别在边，，上，点到的距离为米，米，，，，．根据设计要求，需要在区域内种植元平方米的花卉，其余区域内种植草坪，为提高花卉区域的观赏范围，需将的面积设计得尽可能大．试问的面积是否存在最大值？若存在，求此时种植花卉的总费用；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
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9 . 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长
，宽
的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池
仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为
的矩形水池
（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度
为
，加长后水池1的总面积为
；设水池2的边的长为
，面积为
．上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③，两个函数图象的交点分别是点C和点D．
（1）分别求出
与x，
与x的函数关系式；
【问题解决】
（2）求水池2面积的最大值：
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，求
的取值范围；
【数学抽象】
（4）在图④的图象中，点P是此抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长
，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】
如果设水池
的边加长长度为，加长后水池1的总面积为；设水池2的边的长为，面积为．上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③，两个函数图象的交点分别是点C和点D．（1）分别求出
与x，与x的函数关系式；【问题解决】
（2）求水池2面积的最大值：
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，求
的取值范围；【数学抽象】
（4）在图④的图象中，点P是此抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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10 . 阅读与思考
下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可）
A．方程思想 B．统计思想 C．函数思想 D．数形结合思想
(2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______．
(3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由．
下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
 年月日 星期六“用函数思想解决生活中的实际问题” 五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过程．今天、爸爸计划在农村老家用  栅栏围建一块 的蔬菜种植基地，于是我也积极参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法：
 ， ，可得与的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形．
，矩形的面积为，根据题意，可得到二次函数，当 时，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形． |
(1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可）
A．方程思想 B．统计思想 C．函数思想 D．数形结合思想
(2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______．
(3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由．
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