1 . 【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示:每层都是杯口朝下排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层(最底层)杯子的个数变化而变化.
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据:
第一层杯子的个数 | ||||||
杯子的总数 |
然后在平面直角坐标系中,描出上面表格中各对数值所对应的点,得到图2,小丽根据图2中点的分布情况,猜想其图象是二次函数图象的一部分;为了验证自己的猜想,小丽从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3),再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出与的关系式.
【解决问题】
(1)直接写出与的关系式;
(2)现有个杯子,按【发现问题】中的方式叠放,求第一层杯子的个数;
(3)杯子的侧面展开图如图4所示,,分别为上、下底面圆的半径,所对的圆心角,.将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放,但受桌面长度限制,第一层摆放杯子的总长度不超过,求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数.(提示:杯子下底面圆周长与AB的长度相等)