1 . 在等边三角形中,点分别边上.
(1)如图1,若将等边三角形沿翻折,点恰好落在边上的点处,
①求证:;
②若,若设,求与的函数关系式及的最值.
(2)尺规作图:在边上求作一点使,(不写作法,保留作图痕迹,请在图2中找出所有符合条件的点)
(3)若,设,若要使得(2)中只能作出唯一的点,则的值应该满足什么条件,请通过计算说明
(1)如图1,若将等边三角形沿翻折,点恰好落在边上的点处,
①求证:;
②若,若设,求与的函数关系式及的最值.
(2)尺规作图:在边上求作一点使,(不写作法,保留作图痕迹,请在图2中找出所有符合条件的点)
(3)若,设,若要使得(2)中只能作出唯一的点,则的值应该满足什么条件,请通过计算说明
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2 . 如图1,有一块边角料,其中,,,是线段,曲线可以看成反比例函数图像的一部分.小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形,其中,在上(点在点左侧),点在线段上,点在曲线上.测量发现:,,,点到,所在直线的距离分别为,.
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题,通过思考,他把,,,,这个点先描到平面直角坐标系上,记点的坐标为;点的坐标为.请你在图中补全平面直角坐标系并画出图形;
(2)求直线,曲线的解析式;
(3)求矩形的最大面积.
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2023-04-25更新
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169次组卷
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3卷引用:2023年浙江省宁波市鄞州区中考一模数学试题
3 . 如图,轴上依次有,,,四个点,且,从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点
(1)求点的横坐标,且在图中补画出轴;
(2)通过计算说明点是否会落在点处,并补全抛物线;
(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴;
(4)在轴上从左到右有两点,,且,从点向上作轴,且在沿轴左右平移时,必须保证沿抛物线下落的点能落在边包括端点上,直接写出点横坐标的最大值与最小值.
(1)求点的横坐标,且在图中补画出轴;
(2)通过计算说明点是否会落在点处,并补全抛物线;
(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴;
(4)在轴上从左到右有两点,,且,从点向上作轴,且在沿轴左右平移时,必须保证沿抛物线下落的点能落在边包括端点上,直接写出点横坐标的最大值与最小值.
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2022-05-30更新
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294次组卷
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4卷引用:2022年河北省承德市兴隆县中考数学一模试题
2022年河北省承德市兴隆县中考数学一模试题2023年河北省邯郸市武安市中考一模数学试题(已下线)2023年河北中考数学一模二次函数应用、综合题河北省廊坊市安次区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
解题方法
4 . 在一次数学社团活动中,小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为,对称轴相同,且图象与x轴交点也相同的二次函数,命名为“和合对称二次函数”,对应图象命名为“和合对称抛物线”,并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”,针对该构想,小展同学用二次函数作为其中一个函数(标记该函数图象交轴于原点及点)做了有关研究,请你帮他解答.
【特例感知】(1)当时,如图,抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为,.如下表:
②画图:在图中描出表中对应的“和合点”,再用平滑的曲线依次连接各点,得到“和合对称抛物线”图象.
【初步探讨】(2)①当时,若抛物线的顶点为点,点对应的“和合点”为点,则由点、四点所围成的四边形的面积为______;
②在同一平面直角坐标系中,当取不同值时,通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中,存在一条抛物线,其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数,请求出抛物线的解析式.
【进阶探究】(3)若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点,求的值.
【特例感知】(1)当时,如图,抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为,.如下表:
… | … | |||||
… | … |
①补全表格;
②画图:在图中描出表中对应的“和合点”,再用平滑的曲线依次连接各点,得到“和合对称抛物线”图象.
【初步探讨】(2)①当时,若抛物线的顶点为点,点对应的“和合点”为点,则由点、四点所围成的四边形的面积为______;
②在同一平面直角坐标系中,当取不同值时,通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中,存在一条抛物线,其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数,请求出抛物线的解析式.
【进阶探究】(3)若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点,求的值.
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5 . 【发现问题】
蜂巢的结构非常精美,每个巢室都是由多个正六边形组成(如图1),某数学兴趣小组的同学用若干个形状,大小均相同的正六边形模具,模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案,同学们发现:在每个拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数随着第一层(最下面一层)正六边形模具个数的变化而变化.
【提出问题】
在拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3,同学们根据图3中点的分布情况,猜想其图象是二次函数图象的一部分.
为了验证猜想,同学们从“形”的角度出发,借助“割补”的方法,把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具(虚线部分)移到下面(如图4),并把第一层缺少的正六边形模具(阴影部分)补全,再拼接到一起(如图5),使每一层正六边形模具的数量相同,借此图求出正六边形模具的总个数,再减去用于补全图形的正六边形模具的个数,即可求出y与x之间的关系式.
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式;
(2)若同学按图2的方式拼接图案,共用了169个正六边形模具,求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数;
(3)如图6,作正六边形模具的外接圆,圆心为O,A,B为正六边形模具相邻的两个顶点,的长为,现有一张长100cm,宽80cm的长方形桌子,若按图2的拼接方式拼接图案(模具间的接缝忽略不计),最多可以放下多少个正六边形模具?()
蜂巢的结构非常精美,每个巢室都是由多个正六边形组成(如图1),某数学兴趣小组的同学用若干个形状,大小均相同的正六边形模具,模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案,同学们发现:在每个拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数随着第一层(最下面一层)正六边形模具个数的变化而变化.
【提出问题】
在拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y | 1 | 7 | 19 | 37 | … |
为了验证猜想,同学们从“形”的角度出发,借助“割补”的方法,把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具(虚线部分)移到下面(如图4),并把第一层缺少的正六边形模具(阴影部分)补全,再拼接到一起(如图5),使每一层正六边形模具的数量相同,借此图求出正六边形模具的总个数,再减去用于补全图形的正六边形模具的个数,即可求出y与x之间的关系式.
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式;
(2)若同学按图2的方式拼接图案,共用了169个正六边形模具,求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数;
(3)如图6,作正六边形模具的外接圆,圆心为O,A,B为正六边形模具相邻的两个顶点,的长为,现有一张长100cm,宽80cm的长方形桌子,若按图2的拼接方式拼接图案(模具间的接缝忽略不计),最多可以放下多少个正六边形模具?()
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6 . 如图,一块余料,,,,,,且和之间的距离为4.以所在直线为x轴,长为1个单位长度,建立适当的平面直角坐标系,图中曲线恰好是该平面直角坐标系中反比例函数图象的一部分.
(1)补全该平面直角坐标系,并写出点B,C,D,E的坐标;
(2)李师傅想利用该余料截取一块矩形材料,其中边在上(点P在点Q的右侧),其余两个顶点M与N分别在线段与曲线段上,求所截取的矩形材料面积的最大值.
(1)补全该平面直角坐标系,并写出点B,C,D,E的坐标;
(2)李师傅想利用该余料截取一块矩形材料,其中边在上(点P在点Q的右侧),其余两个顶点M与N分别在线段与曲线段上,求所截取的矩形材料面积的最大值.
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7 . 已知线段,如果将线段绕点逆时针旋转得到线段,则称点为线段关于点的逆转点.点为线段关于点的逆转点的示图如图1:
(1)如图2,在正方形中,点________为线段关于点的逆转点;
(2)如图3,在平面直角坐标系中,点的坐标为,且,点是轴上一点,点是线段关于点的逆转点,点是线段关于点的逆转点,过逆转点,的直线与轴交于点.
①补全图;
②判断过逆转点,的直线与轴的位置关系并证明;
③若点的坐标为,连接、,设的面积为,直接写出与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(1)如图2,在正方形中,点________为线段关于点的逆转点;
(2)如图3,在平面直角坐标系中,点的坐标为,且,点是轴上一点,点是线段关于点的逆转点,点是线段关于点的逆转点,过逆转点,的直线与轴交于点.
①补全图;
②判断过逆转点,的直线与轴的位置关系并证明;
③若点的坐标为,连接、,设的面积为,直接写出与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
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8 . 二次函数y=x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A.
感知特例(1)当m=1时,如图1,抛物线L:y=x2﹣2x上的点B,O,C,A,D分别关于点A中心对称的点为B′,O′,C′,A′,D′,如表:
(1)补全表格;
(2)在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L'.
形成概念我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”.例如,当m=﹣2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.
(3)探究问题当m=﹣1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为 ;
感知特例(1)当m=1时,如图1,抛物线L:y=x2﹣2x上的点B,O,C,A,D分别关于点A中心对称的点为B′,O′,C′,A′,D′,如表:
… | B(﹣1,3) | O(0,0) | C(1,﹣1) | A( , ) | D(3,3) | … |
… | B'(5,﹣3) | O′(4,0) | C'(3,1) | A′(2,0) | D'(1,﹣3) | … |
(2)在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L'.
形成概念我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”.例如,当m=﹣2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.
(3)探究问题当m=﹣1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为 ;
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9 . 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A,B点A在点B的左侧),与y轴交于点D,已知点C的坐标为,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.
(1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形.
(2)如图2,,E是抛物线上的一点,作以对角线的正方形.
(1)在图1中作以为斜边的等腰直角三角形.
(2)如图2,,E是抛物线上的一点,作以对角线的正方形.
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名校
10 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新,某仓库的门动换气窗采用了以下设计:
如图1,窗子的形状是一个五边形,它可看作是由一个矩形和一个组成,该窗子关闭时可以完全密封,根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气.通风口为(阴影部分均不通风),点F为的中点,是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆.设窗子的边框、分别为am,bm,窗子的高度(窗子的最高点到边框的距离)为cm.
【初步探究】
(1)若(即点E到的距离为4).
①与之间的距离为1m,求此时的面积;
②与之间的距离为xm,试将通风口的面积表示成关于x的函数;
③伸缩杆移动到什么位置时,通风口面积最大,最大面积是多少?
【拓展提升】
(2)若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值.
①c需要满足的条件是 ,通风口的最大面积是 (用含a、b、c的代数式表示)
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置,(保留作图痕迹,不写作法)
如图1,窗子的形状是一个五边形,它可看作是由一个矩形和一个组成,该窗子关闭时可以完全密封,根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气.通风口为(阴影部分均不通风),点F为的中点,是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆.设窗子的边框、分别为am,bm,窗子的高度(窗子的最高点到边框的距离)为cm.
【初步探究】
(1)若(即点E到的距离为4).
①与之间的距离为1m,求此时的面积;
②与之间的距离为xm,试将通风口的面积表示成关于x的函数;
③伸缩杆移动到什么位置时,通风口面积最大,最大面积是多少?
【拓展提升】
(2)若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值.
①c需要满足的条件是 ,通风口的最大面积是 (用含a、b、c的代数式表示)
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置,(保留作图痕迹,不写作法)
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2023-03-13更新
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444次组卷
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4卷引用:2023年江苏省盐城市盐都区义丰初级中学下学期九年级数学第一次模拟试题