已知线段
，如果将线段绕点
逆时针旋转
得到线段
，则称点
为线段关于点的逆转点．点为线段关于点的逆转点的示图如图1：
（1）如图2，在正方形
中，点________为线段
关于点
的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，且
，点
是
轴上一点，点
是线段
关于点的逆转点，点
是线段
关于点的逆转点，过逆转点，的直线与
轴交于点
．
①补全图；
②判断过逆转点，的直线与轴的位置关系并证明；
③若点的坐标为
，连接
、
，设
的面积为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，则称点为线段关于点的逆转点．点为线段关于点的逆转点的示图如图1：（1）如图2，在正方形
中，点________为线段关于点的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系
中，点的坐标为，且，点是轴上一点，点是线段关于点的逆转点，点是线段关于点的逆转点，过逆转点，的直线与轴交于点．①补全图；
②判断过逆转点
，的直线与轴的位置关系并证明；③若点
的坐标为，连接、，设的面积为，直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
更新时间：2021-11-21 20:07:39
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【推荐1】如图1，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为
，其对称轴交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点
为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使
面积最大时点的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点，使得点关于直线
的对称点
满足以点
、、、为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为，其对称轴交轴于点. （1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点
为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使面积最大时点的坐标； （3）在对称轴上是否存在点
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【推荐2】在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且
．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
(2)当MN＝x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
(3)是否存在x，使y等于S△ABC的四分之一？如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由．
．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
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(3)是否存在x，使y等于S△ABC的四分之一？如果存在，请直接写出x的值；如果不存在，请说明理由．
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【推荐3】如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,D为y轴上一点,点D关于直线BC的对称点为D’
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在x轴上方,且△OBD的面积等于△OBC的面积时,求点D的坐标;
(3)当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时,求出点D的坐标;
(4)点P在抛物线上(不与点B、C重合),连接PD、PD′、DD,是否存在点P,使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【推荐1】【探究发现】
在
中，
，
，M是边上一点，将
沿
折叠得到
．如图1，若
与线段相交，连接
，在上取一点P，使
，
交于点Q，①证明：
；②探究与
的数量关系，并写出探究过程；
【类比学习】
如图2，在中，，
，M是边AC上一点，将沿折叠得到，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q，
（用含n的式子表示）；
【拓展应用】
在前面的发现和探究的经验下，当
时，M是的中点时，若
，求的长．
在
中，，，M是边上一点，将沿折叠得到．如图1，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q，①证明：；②探究与的数量关系，并写出探究过程；【类比学习】
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【推荐2】（1）问题发现与探究：如图（1），△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连接BD，则①线段AE、BD之间的大小关系是____，∠ADB=_____°，并说明理由．②求证：AD=2CM+BD．
（2）问题拓展与应用：如图（2），等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点A作直线，在直线上取点D，∠ADC=45°，连结BD，BD=1，AC=
，请在图（2）中画出图形并求出点C到该直线的距离．
（2）问题拓展与应用：如图（2），等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点A作直线，在直线上取点D，∠ADC=45°，连结BD，BD=1，AC=
，请在图（2）中画出图形并求出点C到该直线的距离．
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【推荐1】【阅读理解】如图1，点为线段上一点，且
，如果
，那么点是线段的一个黄金分割点，比值
叫做黄金分割比．
(1)如图1，若线段的长为4，是线段的黄金分割点（），则
的长为 ；（保留根号）
(2)如图2，用边长为
的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕
，连接
，将
折叠到上，点对应点，得折痕
．试说明：是的黄金分割点；
(3)我们把有一个内角等于
的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．如图3，是
的直径，点在上，
，过点作直线
分别交直线和于点、，连接
，
，
．
①求弦的长；
②在直线或上是否存在点（点、除外），使
是黄金三角形？若存在，直接写出
的长；若不存在，说明理由．
为线段上一点，且，如果，那么点是线段的一个黄金分割点，比值叫做黄金分割比．(1)如图1，若线段
的长为4，是线段的黄金分割点（），则的长为 ；（保留根号）(2)如图2，用边长为
的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；(3)我们把有一个内角等于
的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．如图3，是的直径，点在上，，过点作直线分别交直线和于点、，连接，，．①求弦
的长；②在直线
或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，说明理由．
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【推荐2】如图，正方形 的边长为
，点为边 上一动点，连接 并将其绕点顺时针旋转得到
，连接
，以，为邻边作矩形
，
与
，分别交于点，
，
交的延长线于点
．
(1)证明：点，，在同一条直线上;
(2)当
为何值时，
的长为
；
(3)连接，
，当
时，求的长．
的边长为，点为边 上一动点，连接 并将其绕点顺时针旋转得到，连接，以，为邻边作矩形，与，分别交于点，，交的延长线于点． (1)证明：点
，，在同一条直线上;(2)当
为何值时，的长为；(3)连接
，，当时，求的长．
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【推荐3】已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC的面积为S2，△MEN的面积为S3．
(1)如图（1），当四边形EFBG为正方形时，
①求证：△AFM≌△CGN；
②求证：S3＝S1+S2．
(2)如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．
(1)如图（1），当四边形EFBG为正方形时，
①求证：△AFM≌△CGN；
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【推荐1】已知等边三角形
的边长为4．
(1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足
，求证：
；
(2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足
，当
时，求的长；
(3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转
到点
，求
的面积．
的边长为4．(1)如图，在边
上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：； (2)如图，若点
在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长； (3)在（2）的条件下，将点
绕点逆时针旋转到点，求的面积．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在
中，
，
，
．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作
交折线、于点，连接
，将
绕点逆时针旋转得到
．设点P的运动时间为t （秒）．
(1)用含t的代数式表示线段
的长；
(2)当点E落在边上时，求的长；
(3)当点F在内部时，求t的取值范围．
(4)当线段将的面积分成
的两部分时，直接写出t的值为 ___________．
中，，，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作交折线、于点，连接，将绕点逆时针旋转得到．设点P的运动时间为t （秒）．(1)用含t的代数式表示线段
的长；(2)当点E落在
边上时，求的长；(3)当点F在
内部时，求t的取值范围．(4)当线段
将的面积分成的两部分时，直接写出t的值为 ___________．
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ABC是等边三角形，在
，CE＝3
，则AD长度为多少？
绕点C顺时针旋转90°得到
，连接
，请直接写出当
面积最大时，
的最大值．
