名校
1 . [问题背景]为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形
和一个
组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度可以自动打开窗子上的通风口换气通风口为
（其余部分均不通风），
为
的中点，
是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．已知边框
，设
为
，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为
．
[初步探究]
（1）若
，
，与之间的距离为
，通风口的面积为
①当
时，直接写出y与x的函数关系是______；
②当
时，求y与x的函数关系；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少?
[拓展提升]
（2）若伸缩杆移动到高于
所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是______．通风口的最大面积是______
（用含a，h的代数式表示）．
和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度可以自动打开窗子上的通风口换气通风口为（其余部分均不通风），为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．已知边框，设为，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为． [初步探究]
（1）若
，，与之间的距离为，通风口的面积为①当
时，直接写出y与x的函数关系是______；②当
时，求y与x的函数关系；③伸缩杆
移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少?[拓展提升]
（2）若伸缩杆
移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h需要满足的条件是______．通风口的最大面积是______（用含a，h的代数式表示）．
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2 . 【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点
是边上的一个动点，以
为边在的右侧作正方形
，连接
、
，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；
（2）如图，四边形是矩形，
，
，点是边上的一个动点，
【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且
，连接、，求证：
；
【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接
、，则
面积的最小值为______．
是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；（2）如图，四边形
是矩形，，，点是边上的一个动点，【探究】①如图2，以
为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：；【拓展】②如图3，以
为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______．
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3 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师给出下述情境：
如图，
是正方形的对角线，边
在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为
，连接
，
，并过点
作
，垂足为
，连接
，
．
(1)探究展示：线段在平移过程中，四边形
是什么四边形？说明理由；
(2)拓展再探：判断，之间的数量关系和位置关系，并利用图
加以证明；
(3)反思交流：若
，在平移变换过程中，设
，
，求
与
之间的函数关系式，并求出的最大值．
问题情境：数学活动课上，老师给出下述情境：
如图，
是正方形的对角线，边在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为，连接，，并过点作，垂足为，连接，． (1)探究展示：线段
在平移过程中，四边形是什么四边形？说明理由；(2)拓展再探：判断
，之间的数量关系和位置关系，并利用图加以证明；(3)反思交流：若
，在平移变换过程中，设，，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．
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4 . 【背景信息】为了保持室内空气的清新，某仓库的换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以白动打开窗子上的通风口换气，通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
设窗子的边框、分别为
、
，窗子的高度（即点E到的距离）为
．
【初步探究】
（1）若
，
，
①与之间的距离为
，求此时的面积；
②与之间的距离为
，试将通风口的面积
表示成关于的函数；
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时，通风口面积达到最大值，h需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 
（用含a，b，h的代数式表示）．
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形
和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以白动打开窗子上的通风口换气，通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．设窗子的边框
、分别为、，窗子的高度（即点E到的距离）为．【初步探究】
（1）若
，，①
与之间的距离为，求此时的面积；②
与之间的距离为，试将通风口的面积表示成关于的函数；【拓展提升】
（2）若金属杆
移动到高于所在位置的某一处时，通风口面积达到最大值，h需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含a，b，h的代数式表示）．
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5 . 【阅读理解】人教版七年级下册8．3 探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产值的比是
，现要把一块长为
、宽为
的长方形土地分为两块土地，分别种植这两种作物，怎么样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是
？
【解题过程】如图1，若甲、乙两种作物的种植区分别为长方形
和
，此时设
，
，根据题意，列出方程组：
，解得
．
过长方形土地的长边上离一端
处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，其面积为：
，
较小的一块土地种乙种作物，其面积为：
．
(1)【尝试应用】同学们从以上解决方法得到启发提出解决上述问题的另一思路：
若按如图2所示，划分出一块三角形土地
种植乙种作物，其余土地种植甲种作物，则
应该取多长？
(2)【拓展应用】现要把另一块长为、宽为的长方形土地建成花园小广场，设计方案如图3所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（
），设
．当出口宽为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
，现要把一块长为、宽为的长方形土地分为两块土地，分别种植这两种作物，怎么样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是？【解题过程】如图1，若甲、乙两种作物的种植区分别为长方形
和，此时设，，根据题意，列出方程组：，解得．过长方形土地的长边上离一端
处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植甲作物，其面积为：，较小的一块土地种乙种作物，其面积为：
．(1)【尝试应用】同学们从以上解决方法得到启发提出解决上述问题的另一思路：
若按如图2所示，划分出一块三角形土地
种植乙种作物，其余土地种植甲种作物，则应该取多长？(2)【拓展应用】现要把另一块长
为、宽为的长方形土地建成花园小广场，设计方案如图3所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（），设．当出口宽为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
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6 . 【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若
（即点E到的距离为4）．
①与之间的距离为1m，求此时的面积；
②与之间的距离为xm，试将通风口的面积
表示成关于x的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形
和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．【初步探究】
（1）若
（即点E到的距离为4）．①
与之间的距离为1m，求此时的面积；②
与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数；③伸缩杆
移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？【拓展提升】
（2）若金属杆
移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是
（用含a、b、c的代数式表示）②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆
所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
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2023-03-13更新
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444次组卷
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4卷引用：2023年江苏省盐城市盐都区义丰初级中学下学期九年级数学第一次模拟试题
7 . 在
中， 
，点
(不与点
重合)是线段上的一个动点，连接，以为边在的右侧作正方形
，连接
（1）发现问题：如图（1），若
，则与的位置关系_________；
（2）拓展探究：如图（2），若
，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由；
（3）解决问题：若
，设正方形的边
与线段相交于点
，请直接写出线段
的最大值
中， ，点 (不与点重合)是线段上的一个动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接（1）发现问题：如图（1），若
，则与的位置关系_________；（2）拓展探究：如图（2），若
，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由；（3）解决问题：若
，设正方形的边与线段相交于点，请直接写出线段的最大值
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2020-03-02更新
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442次组卷
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2卷引用：河南省郑州市登封市2019-2020学年年九年级上学期期末数学试题
解题方法
8 . 问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC，BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．
（1）△ABC和△DCF面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）
（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．
图1
图2
图3
（1）△ABC和△DCF面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）
（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．
图1
图2
图3
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9 . 【实验观察】
(1)观察下列
，
，
，…，
，
两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．
(2)观察下列
，
，
，…，
，
两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．
(3)【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为2n（其中
），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用二次函数的知识说明你的猜想的正确性．
(4)【拓展应用】用长度为
的竹签制作一个四边形的风筝（如图所示），风筝的骨架与（
），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，要把风筝的表面积（四边形
的面积）制作到最大，根据上面的结论，求当风筝的骨架、的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
(1)观察下列
，，，…，，两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．(2)观察下列
，，，…，，两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．(3)【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为2n（其中
），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用二次函数的知识说明你的猜想的正确性．(4)【拓展应用】用长度为
的竹签制作一个四边形的风筝（如图所示），风筝的骨架与（），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，要把风筝的表面积（四边形的面积）制作到最大，根据上面的结论，求当风筝的骨架、的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
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10 . 阅读材料：如图（1），在
中，
，点P在边上，
于点
于点F，则
．（此结论不必证明，可直接应用）
如图（2），正方形的边长为2，对角线
相交于点O，点P在边上，于点于点F，则
______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点
点P在边上，
交
于点E，
交于点F，求
的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，
，点P在弦上，
交BD于点E，
交于点F，当
时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形
面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）
如图（2），正方形
的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；(2)【类比与推理】
如图（3），矩形
的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；(3)【拓展与延伸】
四边形
是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
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