【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形
和一个
组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为
（阴影部分均不通风），点F为
的中点，
是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．、
分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若
（即点E到的距离为4）．
①与之间的距离为1m，求此时的面积；
②与之间的距离为xm，试将通风口的面积
表示成关于x的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于
所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是
（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形
和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm．【初步探究】
（1）若
（即点E到的距离为4）．①
与之间的距离为1m，求此时的面积；②
与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数；③伸缩杆
移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？【拓展提升】
（2）若金属杆
移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是
（用含a、b、c的代数式表示）②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆
所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
更新时间：2023-03-13 10:16:31
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数
图像的顶点是点A，对称轴为直线l，图像与y轴交于点C，点D在l右侧的函数图像上，点B在
延长线上，且四边形
是平行四边形．
(1)如图2，若
轴．
①求证：
；
②若
是矩形，求二次函数的解析式；
(2)当
时，能否成为正方形，请通过计算说明理由．
图像的顶点是点A，对称轴为直线l，图像与y轴交于点C，点D在l右侧的函数图像上，点B在延长线上，且四边形是平行四边形．(1)如图2，若
轴．①求证：
；②若
是矩形，求二次函数的解析式；(2)当
时，能否成为正方形，请通过计算说明理由．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】如图，抛物线
与x轴交于点A和点
，与y轴于直
，连接
，点E是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当
时，求点E的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使
是以
为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
与x轴交于点A和点，与y轴于直，连接，点E是对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)当
时，求点E的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使
是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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中，已知点
、点
，抛物线
经过点
在线段
、
的值；
）个单位，顶点落在点
，连接
，交
．
，求 
的面积；
，求
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．
(1)如图1，在
中．按如下做法：
①作
的中垂线
：
②作
的角平分线与中垂线交于点
；
③连接
并延长与交于点
，得到
．
若按上述作法，得到的是倍角三角形．则
与
的等量关系___________；
(2)如图2，在矩形中，以为底边做一个倍角三角形顶点恰好落在边上．若
，
．求
的长度．
(3)如图3，现有一块梯形板材，
，
，
，
．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，为以为底边且
的倍角三角形．是否存在满足要求的？若存在，请确定点位置（求出的长）；若不存在，请说明理由．
(1)如图1，在
中．按如下做法：①作
的中垂线：②作
的角平分线与中垂线交于点；③连接
并延长与交于点，得到．若按上述作法，得到的
是倍角三角形．则与的等量关系___________；(2)如图2，在矩形
中，以为底边做一个倍角三角形顶点恰好落在边上．若，．求的长度．(3)如图3，现有一块梯形板材
，，，，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，为以为底边且的倍角三角形．是否存在满足要求的？若存在，请确定点位置（求出的长）；若不存在，请说明理由．
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(0.15)
【推荐2】动手操作
（1）如图1，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是
和
，那么“卒”的坐标为______．
，点
在
上运动，点
在
上运动，满足
．点
为线段的中点，则点运动路径的长为______．
解决问题
（3）小明在初中数学一册教材中看到这样一段文字和一幅图：
“下列是一个寻宝者得到的一幅藏宝图，荒凉的海岛上没有藏匿宝藏的任何标志，只有
、
两块天然巨石，寻宝者从其它资料上查到、两块巨石在平面直角坐标系中的坐标为
，
，藏宝地的坐标为
”．
你能在图2的地图中画出藏宝地吗？（请在图2中用尺规作图确定宝藏地，简要说明确定的方法．）
（1）如图1，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是
和，那么“卒”的坐标为______．
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（3）小明在初中数学一册教材中看到这样一段文字和一幅图：
“下列是一个寻宝者得到的一幅藏宝图，荒凉的海岛上没有藏匿宝藏的任何标志，只有
、两块天然巨石，寻宝者从其它资料上查到、两块巨石在平面直角坐标系中的坐标为，，藏宝地的坐标为”．你能在图2的地图中画出藏宝地吗？（请在图2中用尺规作图确定宝藏地，简要说明确定的方法．）
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(0.15)
解题方法
【推荐1】问题提出：
（1）如图1，在矩形内，以的中点F为圆心，为直径作半圆．P为半圆上一点，若
，
，试求
的面积的最小值．
问题探究：
（2）如图2，在菱形中，
，
，P是菱形内或边上的一点，且
，连接
，求
面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地要进行规划，其中
米，
米，E是边上一点，且
米，F是边上的任意一点，把
改造成一个供市民休息的区域，
是关于
的轴对称图形，在区域放置“保护野生动物，拒绝食用野生动物”的宣传与警示栏．同时修建
四条观光道，在四边形空地
种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪的面积的最小值．
（1）如图1，在矩形
内，以的中点F为圆心，为直径作半圆．P为半圆上一点，若，，试求的面积的最小值． 问题探究：
（2）如图2，在菱形
中，，，P是菱形内或边上的一点，且，连接，求面积的最小值．问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地
要进行规划，其中米，米，E是边上一点，且米，F是边上的任意一点，把改造成一个供市民休息的区域，是关于的轴对称图形，在区域放置“保护野生动物，拒绝食用野生动物”的宣传与警示栏．同时修建四条观光道，在四边形空地种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪的面积的最小值．
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(0.15)
【推荐2】【问题提出】
（1）如图1，是等腰直角三角形，
，可得到
，点D，E分别在边，
上，且
，把
绕点A旋转时，则
的值是 ；
【问题探究】
（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，
且与边交于点N，若，
，求四边形
面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在
米，
米的矩形平面开挖一个
的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且
，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．
（1）如图1，
是等腰直角三角形，，可得到 ，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是 ；【问题探究】
（2）如图2，O为矩形
对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；【问题解决】
（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在
米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐3】如图①，已知∠MAN＝60°，点B在AM上，AB＝6，P是AN上一动点（点P不与点A重合），以AB、AP为相邻两边作平行四边形APCB，再以BP为直径作⊙O．
（1）当
的某一边所在直线与⊙O相切时，AP的长为 ．
（2）当的四条边所在直线与⊙O都相交时，设⊙O分别与AN、AM交于点E、G，与直线CP、BC交于点H、F．
①如图②，在六边形BGEPHF中，易得BF//PE，BG //PH，∠GBF＝∠HPE＝120°，请再写出关于这个六边形的三个结论，并选择其中一个 结论给出证明；
（要求：写出的三个结论类型不相同）
②设AP＝x，直接写出以B、G、E、P、H、F为顶点的六边形的面积（用含x的代数式表示）．
（1）当
的某一边所在直线与⊙O相切时，AP的长为 ．（2）当
的四条边所在直线与⊙O都相交时，设⊙O分别与AN、AM交于点E、G，与直线CP、BC交于点H、F．①如图②，在六边形BGEPHF中，易得BF//PE，BG //PH，∠GBF＝∠HPE＝120°，请再写出关于这个六边形的三个结论，并选择其中
（要求：写出的三个结论类型不相同）
②设AP＝x，直接写出以B、G、E、P、H、F为顶点的六边形的面积（用含x的代数式表示）．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】如图，直线
与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为x轴正半轴上一点，连接，
的面积为
．
(1)求直线的解析式；
(2)过点C作的平行线与过点A作x轴的平行线交于点D，点E为线段上一点，连接，交y轴于点F，将
沿BE翻折得到
，连接
，设点E的横坐标为m，四边形
的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，延长
交线段于点Q，若
，求点E的坐标．
与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为x轴正半轴上一点，连接，的面积为．(1)求直线
的解析式；(2)过点C作
的平行线与过点A作x轴的平行线交于点D，点E为线段上一点，连接，交y轴于点F，将沿BE翻折得到，连接，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)在（2）的条件下，延长
交线段于点Q，若，求点E的坐标．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，将抛物线
（其中
为常数，且<0）关于原点对称得到抛物线
，抛物线
，的顶点分别为M，N．的表达式；（用含有的式子表示）
(2)若抛物线与
轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线与轴的交点从左到右依次为C，D．
①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求的值；
②是否存在这样的，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)在抛物线对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与
轴相交于P，Q两点，且
，
，求
的值．
（其中为常数，且<0）关于原点对称得到抛物线，抛物线，的顶点分别为M，N．
的表达式；（用含有的式子表示）(2)若抛物线
与轴的交点从左到右依次为A，B；抛物线与轴的交点从左到右依次为C，D．①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求
的值；②是否存在这样的
，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)在抛物线
对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与轴相交于P，Q两点，且，，求的值．
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交
，点
；
交
，
的面积为
，求
上，连接
，
，点
在
，延长
交
，连接
交
，若
，
求点Р的坐标．
