【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线经过A，B两点，且．
（1）求抛物线的解析式
（2）点P在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，其横坐标为，连接OP，交对称轴于点C，过点C作轴，交直线于点，连接，设线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，连接，交于点F，点G是BE的中点，过点G作轴，交的延长线于点，当且时，求点的坐标；

【推荐2】定义：若实数x，y满足x²＝y+t，y²＝x+t，且x≠y，t为常数，则称点（x，y）为“轮换点”．例如，点（1，﹣2）满足：1²＝﹣2+3，（﹣2）²＝1+3，则点（1，﹣2）是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy中，点A（m，n）．
(1)A₁（3，﹣2）和A₂（2，﹣3）两点中，点　 　是“轮换点”；
(2)若二次函数上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当x＝1时，y＝8，②b²﹣4ac＝1，求二次函数解析式；
(3)若点A是“轮换点”，用含t的代数式表示m⋅n，并求t的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

【推荐1】已知抛物线，其中n，m为常数，且．
(1)若，，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线的对称轴为，且抛物线经过点．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；
(3)若，点，抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是的中点，当的最小值是时，求在的图象的最低点的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴的正半轴交于点．且．

(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，轴交射线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作轴交轴于点，点在线段上，且，，交直线于点，当时，是线段上的一点，过点作平行于轴，与线段交于点，连接、，恰好使，延长交抛物线于点，连接，求线段的长．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点．
   
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若，是二次函数图像上两点，求证：；
(3)当时，函数的最大值与最小值之差为，直接写出的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 轴交于点，，与 轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接 ，，求面积的最大值；
（3）在（2）中面积取最大值的条件下，将抛物线（ ）沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点 为点的对应点，点为 的对称轴上任意一点，在确定一点 ，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

【推荐2】定义：关于轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.
例如：的“同轴对称抛物线”为.
(1)求抛物线的“同轴对称抛物线”.
(2)如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、.
①当四边形为正方形时，求的值.
②在①的条件下，抛物线的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点和点（其中在的左边），将抛物线的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点和点（其中在的左边），满足，在抛物线上有且仅有三个点、、，使得、、的面积均为定值，求、、的坐标.
   

【推荐3】如图，抛物线y＝ax²+bx+3经过点A(﹣1，0)，点B(3，0)与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上一点，连接BC，DO交于点E，若S_△CDE：S_△COE＝2：3，求D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上一点，连接BP，将BP沿直线BC折叠，当点P恰好落在抛物线的对称轴上时，求P点的横坐标．