1 . 数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长，宽的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．
   
下面是探究过程，请补充完整：
(1)设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式为______；
(2)确定自变量的取值范围是______；
(3)列出与的几组对应值．

	…								1			…
	…	1.3	2.2	2.7		3.0	2.8	2.5		1.5	0.9	…

（说明：表格中相关数值均精确到0.1）
(4)为观察与之间的关系，建立坐标系（图2），以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接它们；
(5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______．（精确到0.1）

2 . 数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）．
   
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．
下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．
得到y与x的关系式：_________（）；
(2)列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）

x/	…	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
	…	80.5	42.0	31.2	①	28.5	31.3

(3)在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：
(4)结合画出的函数图象，解决问题：
长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省．
   

3 . 如图，已知抛物线交轴于、两点交轴于点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若为抛物线对称轴右侧一点，，求点的横坐标；
(3)若为轴上一动点，作直线，，分别交抛物线于点，，若，两点的横坐标分别为，，试探究，之间的数量关系．

4 . 如图，抛物线过点A（−1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点B的坐标为，以，为边作矩形，且边交二次函数的图象于点M．
   
(1)求二次函数的表达式．
(2)现有一条垂直于x轴的直线在A，O两点间（不包括A，O两点）左右移动，分别交x轴于点E，交于点F，交于点P，交二次函数的图象于点Q，请用含a的代数式表示的长．
(3)在（2）的条件下，连接，则在上方的二次函数的图象上是否存在这样的点Q，使得以Q，C，F为顶点的三角形和相似？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果）