1 . 河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦
的长为
，铜镜上的点到弦的最大距离为
．
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．
的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．
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2024九年级下·全国·专题练习
2 . （1）如图①，
，点P在
的平分线上，
．点E，F分别在边
，
上，且
，连接
．求线段的最小值；
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点
是拱桥的中点，桥下水面的宽度
，点到水面的距离
．点
，
均在
上，
，且
，在点，处各装有一个照明灯，图中
和
分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即
，
可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段
，在上，此时，线段
是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．已知
，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)
，点P在的平分线上，．点E，F分别在边，上，且，连接．求线段的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点
是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)
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3 . 赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物，如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径
，拱高
，则拱桥的半径为_____ m．
，拱高，则拱桥的半径为
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4 . “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为
的直径，弦
，垂足为
寸，
寸，则直径的长度为______ 寸．
为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为
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5 . 筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示 2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要
，筒车与水面分别交于
、
，且． 
，筒车的轴心
距离水面的高度 
长为
，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间．的半径；
(2)盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长：
(3)拟修建接水槽
，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时
时，求接水槽的长．
按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且． ，筒车的轴心距离水面的高度 长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间．
的半径；(2)盛水桶
从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长：(3)拟修建接水槽
，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长．
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6 . 如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．
(2)求照明灯距离水面的高度．
(3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)
是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．
(2)求照明灯
距离水面的高度．(3)已知
，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)
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7 . 上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小．
(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离
为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．
(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离
为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．
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8 . 如图，是的直径，
，
在上两点，连结
，．是
延长线上一点，
，求证：
与相切；
(2)如图2，点
在上，
于点
，连接
并延长交于点
，若为的直径，
，
，
①求证：
；
②求半径的长．
是的直径，，在上两点，连结，．
是延长线上一点，，求证：与相切；(2)如图2，点
在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，，①求证：
；②求
半径的长．
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9 . 如图，是
的外接圆，
为的直径，点D是
的中点，连接，作
的平分线交于点E
；
(2)若过C点的切线与
的延长线交于点F，已知
，求
、线段
围成的阴影部分面积；
是的外接圆，为的直径，点D是的中点，连接，作的平分线交于点E
；(2)若过C点的切线与
的延长线交于点F，已知，求、线段围成的阴影部分面积；
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10 . 如图，四边形
内接于
为的直径，
，过点的直线l交
的延长线于点M．交的延长线于点N且
．是的切线；
(2)求证：
；
(3)当
时，求
的长．
内接于为的直径，，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N且．
是的切线；(2)求证：
；(3)当
时，求的长．
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