1 . 问题提出：
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点，分别在射线，射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．

问题探究：
（1）如图1，当点从点运动到点时，
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②求关于的函数解析式，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：

	0	1	2	3	4
	0	1.5	2

表中的值为___________，的值为___________；
（2）当点运动到线段的延长线上时，
①直接用含的代数式表示的长：___________；
②求关于的函数解析式；
问题解决：
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．

2 . 综合与探究
如图，正方形中，为边上异于的一动点，为边上一点，为线段上的动点，于，于．

(1)求证：；
(2)若为中点，设为．
①求的长（用含的代数式表示）；
②求四边形面积的最大值；
(3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大．

4 . 已知直线与轴、轴分别交于两点，抛物线过点，与轴的另一个交点为点．
(1)若，点的坐标为，求抛物线的解析式；
(2)若，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)点的坐标为，以为边在轴上方作正方形，若抛物线的顶点在正方形的边上，求的值．

7 . 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​

(1)如图2，两墙，的高度是 　　米，抛物线的顶点坐标为 　　；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．

9 . 问题提出

图1                              图2                                                图3
（1）如图1，已知矩形的面积为42，点、分别在边、上，连接，若，，则四边形的面积为__________；
问题探究
（2）如图2，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作，垂足为．求、的长；
问题解决
（3）现要对一块四边形空地进行规划，其示意图如图3所示，其中，，连接，，，在上找点，过点作于点，连接，根据规划在与区域种植花卉，其余区域种植草坪．
①设的长为，和的面积之和为，求与之间的函数关系式；
②种植花卉每平方米需花费0.01万元，种植花卉至少需要总费用多少万元？

10 . 问题提出

如图，在中，．若，则的值为__________．
问题探究
如图，在四边形中，对角线、相交于点，、、、分别为、、、的中点，连接、、、．若，求四边形的面积．
问题解决
如图，某市有一块五边形空地，其中米，米，米，米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园，使点、、、分别在边、、、上，要求请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．