1 . 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　．
   
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

2 . 在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.
(1)如图1，若，则_____m²
．
(2)如图2,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当S取得最小值时，边长的长为_______．

3 . 阅读材料：
已知两数的和为4，求这两个数的积的最大值．
（1）解：设其中一个数为x，则另一个数为（4﹣x），令它们的积为y，则：
y=x（4﹣x）
=﹣x²+4x
=﹣（x﹣2）²+4．
∵﹣1＜0，
∴y_最大值=4．
问题解决：
（1）若一个矩形的周长为20cm，则它面积的最大值为     cm²．
（2）观察下列两个数的积，猜想哪两个数积最大，并用二次函数的知识说明理由：
99×1.98×2.97×3.96×4，…，50×50．
拓展应用：
（3）若m、n为任意实数，则代数式（m﹣2n）（8﹣m+2n）的最大值是     ，此时，m和n之间的关系式是     ．

5 . 根据以下素材，完成探索任务．
问题提出：根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况系，如何设计最大饲养室面积的方案？
素材一：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有长的墙，中间用一道墙隔开，计划的建筑材料可建围墙的总长为，开两个门，且门宽均为．

   

素材二：每个门的价格为250元．
素材三：与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．
问题解决：
任务1：设，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式．
任务2：探究自变量x的取值范围．
任务3：确定设计方案：当       ，       时，S的最大值为     ．（直接填写结果）

7 . 如图，矩形中，点在上．动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线段运动．连接，过点作，交矩形的边于点，连接．已知，，．经探究，动点的运动路程为，线段与矩形的边围成三角形面积为，它们之间满足二次函数关系．

(1)在动点沿运动的过程中，与的关系如图2所示，求此时关于的函数解析式；
(2)在动点由点A→D运动的过程中，当时，点停止运动，如图3，求此时关于的函数解析式；
(3)在（1）与（2）的条件下，是否存在3个路程，，，（且），使得3个路程对应的面积S均相等，请说明理由．

10 . 张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为．

(1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________；
(2)求矩形花圃面积的最大值；
(3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长．