1 . 问题提出
（1）如图1，在菱形
中，
，
，
，则
的长为______；
（2）如图2，在矩形中，
，
，点
是
上一动点，连接，以
为直径的半圆与相交于点
，连接
，
，求
面积的最小值；
（3）如图3，有一个菱形花园，
，
，点
是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域
种植一种红色花卉．在三角形区域
种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足
，同时过点修建四条小路分别是
，
，
，
供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到
的距离为多少米时，
面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？
（1）如图1，在菱形
中，，，，则的长为______；
（2）如图2，在矩形
中，，，点是上一动点，连接，以为直径的半圆与相交于点，连接，，求面积的最小值；
（3）如图3，有一个菱形花园
，，，点是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域种植一种红色花卉．在三角形区域种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足，同时过点修建四条小路分别是，，，供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到的距离为多少米时，面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？
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2 . 如图，正方形的边长为2，是的中点，
，
是对角线
上的两个动点，且
，连接
，
，则
的最小值为______ ．
的边长为2，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为
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3 . 如图，在边长为4的菱形
中，
，点M是
边的中点，点N是菱形内一动点，且满足
，连接
，则的最小值为________ ．
中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为
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4 . 如图，在
中，
，
，，对角线与
交于点
，将直线
绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形
周长的最小值是______ ．
中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是
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2024-04-04更新
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383次组卷
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5卷引用：江苏省扬州市江都区实验初级中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题
江苏省扬州市江都区实验初级中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题河南省三门峡市灵宝市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题江苏省扬州市2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题江苏省扬州市宝应县2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（已下线）专题18.40 平行四边形题型分类专题（旋转问题）（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
名校
5 . 问题提出：
（1）如图1，在正方形中，
，点E在边上．将
沿折叠，使点B落在点
处，连接
，则的最小值为 ；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，
，E为的中点，
于点F，连接
，过点F作的垂线交边于点G．求证：
；
问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路
和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿
修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出
．
，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
（1）如图1，在正方形
中，，点E在边上．将沿折叠，使点B落在点处，连接，则的最小值为 ；问题探究：
（2）如图2，在矩形
中，，E为的中点，于点F，连接，过点F作的垂线交边于点G．求证：；问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形
的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出．，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
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6 . 如图，
，平分
，平分
，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且
，若
，
，则
的最小值为 __ ．
，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 
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2024-01-31更新
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161次组卷
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4卷引用：浙江省绍兴市柯桥区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
浙江省绍兴市柯桥区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题19 菱形中的最值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）（已下线）基础卷-2023-2024学年八年级数学上学期期末模拟卷（福建专版）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）（已下线）专题08 四边形的综合问题（八大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（山东专用）
7 . 如图，在长方形中，是
的中点，是
上任意一点．若
，，则
的最小值为________ ，最大值为________ ．
中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为
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8 . 已知，在平面直角坐标系中，
，
两点的坐标分别为点
，点
，将线段绕点逆时针旋转
得到，连接．
(1)若
，
①如图1，若
，直接写出点
的坐标 ；
②如图1，若点
为中点，点
在
轴负半轴上一点，连接
，求证：平分
；
(2)如图2，若
为边上一点，为延长线上一点，
，连接
，将线段绕点
顺时针旋转
得到
．
①连接
，判断
的形状，并证明．
②连接
，当
，线段最短．
，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．(1)若
，①如图1，若
，直接写出点的坐标 ；②如图1，若点
为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；(2)如图2，若
为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．①连接
，判断的形状，并证明．②连接
，当 ，线段最短．
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2024-01-12更新
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77次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市光谷实验中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题
9 . （1）如图①，锐角
中，，
，
的平分线交于点，，分别是和上的动点，则
的最小值为______ ；
（2）如图②，在边长为
的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段
，连接
，则长度的最小值为______ ；
（3）如图③，正方形边长为，点在边上，
．以点为圆心，
长为半径画
，点在上移动，将
绕点逆时针旋转90°至
，连接
，在点移动过程长度的最大值为______ ．
中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为（2）如图②，在边长为
的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为（3）如图③，正方形
边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为
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2023九年级·全国·专题练习
10 . 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为__________ ．
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