1 . 问题提出
（1）如图1，在菱形
中，
，
，
，则
的长为______；
（2）如图2，在矩形中，
，
，点
是
上一动点，连接，以
为直径的半圆与相交于点
，连接
，
，求
面积的最小值；
（3）如图3，有一个菱形花园，
，
，点
是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域
种植一种红色花卉．在三角形区域
种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足
，同时过点修建四条小路分别是
，
，
，
供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到
的距离为多少米时，
面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？
（1）如图1，在菱形
中，，，，则的长为______；
（2）如图2，在矩形
中，，，点是上一动点，连接，以为直径的半圆与相交于点，连接，，求面积的最小值；
（3）如图3，有一个菱形花园
，，，点是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域种植一种红色花卉．在三角形区域种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足，同时过点修建四条小路分别是，，，供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到的距离为多少米时，面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？
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名校
2 . 问题提出：
（1）如图1，在正方形中，
，点E在边上．将
沿折叠，使点B落在点
处，连接
，则的最小值为 ；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，
，E为的中点，
于点F，连接
，过点F作的垂线交边于点G．求证：
；
问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路
和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿
修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出
．
，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
（1）如图1，在正方形
中，，点E在边上．将沿折叠，使点B落在点处，连接，则的最小值为 ；问题探究：
（2）如图2，在矩形
中，，E为的中点，于点F，连接，过点F作的垂线交边于点G．求证：；问题解决：
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形
的空地，管理人员规划修两条互相垂直的小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点G），并沿修建地下水管，为了节约成本，要使得最小．已测出．，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
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名校
3 . 如图，平面内三点A、B、C，
，
，以为对角线作正方形
，连接，则的最大值是___________ ．
，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是
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2023-10-23更新
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282次组卷
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16卷引用：陕西省榆林市第五中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题
陕西省榆林市第五中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题陕西省西安高新逸翠园初级中学2022-2023学年九年级上学期第二次数学月考试题安徽省淮南市东部地区2021-2022学年九年级上学期第三次月考数学试题2022年山东省东营初中学业水平模拟考试数学试题江苏省无锡市梁溪区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题京改版八年级数学下册 第15章 四边形 单元测试卷湖北省十堰市2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题湖北省十堰市茅箭区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题湖北省十堰市四区联考2022-2023学年八年级下学期期末数学试题湖北省黄石市黄石港区教研协作体2023-2024学年九年级上学期月考数学试题广东省广州大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题湖北省武汉市一初慧泉中学2020-2021学年八年级下学期期末模拟数学试题广东省广州市白云区广大附中2023-2024学年九年级上学期月考数学试题河南省洛阳市涧西区第二十三中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题广东省江门市福泉奥林匹克学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题浙江省台州市书生中学2023-2024学年九年级上学期第三次检测（12月）数学试题
4 . 如图，在矩形中，
，
，点在边上，
，若点、
分别为边
与上两个动点，线段
始终满足与垂直且垂足为
，则
的最小值为______ ．
中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为
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2023-10-03更新
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283次组卷
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7卷引用：陕西省西安交通大学附属中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题
陕西省西安交通大学附属中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）专题23.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）（已下线）专题4.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）（已下线）专题4.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）（已下线）专题22.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（沪科版）（已下线）特色题型专练06 最值问题-四边形-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）
5 . 如图，正方形 的边长是12，
分别是
上的点，已知
，
，求
周长的最小值___________ ．
的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值
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2023-09-28更新
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293次组卷
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2卷引用：陕西省咸阳市西北工大启迪中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
6 . 如图，在矩形中，
，
，点E在上且
．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为
的中点，则
的最小值为________ ．
中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为
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2023-07-17更新
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183次组卷
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2卷引用：陕西省西安市部分学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
真题
7 . 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线
上的动点，当
取得最小值时，
的值是___________ ．
，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是
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2023-06-13更新
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2018次组卷
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15卷引用：2024年陕西省西安高新区第三初级中学中考四模数学试题
2024年陕西省西安高新区第三初级中学中考四模数学试题2024年陕西省西安市雁塔区西安高新第三中学中考四模数学试题2023年四川省泸州市中考数学真题（已下线）专题14 几何综合题（37题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题21 图形的相似（共29题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题28 动点综合问题（共32题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题16 矩形、菱形和正方形-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（四川专用）（已下线）专题19 图形的相似（含位似）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（四川专用）（已下线）专题20 平移、轴对称、旋转、中心对称-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（四川专用）（已下线）专题30图形的对称与翻折（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】（已下线）专题15 矩形，菱形，正方形-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（四川专用）四川省泸州市龙马潭区天立春雨学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）特色题型专练06 最值问题-四边形-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）2024年四川省自贡市富顺县代寺学区九年级中考一模数学模拟试题（已下线）重难点06几何最值问题（5大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）
8 . 如图，直线
平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，
直线于
，连接
，若
，则长的最小值为___________ ．
平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为
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9 . 如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别为
边上的动点（不与端点重合），连接
，点E、F在运动过程中，始终保持
，连接
．过点B作
，垂足为H，连接
，则的最小值为______ ．
中，点E、F分别为边上的动点（不与端点重合），连接，点E、F在运动过程中，始终保持，连接．过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为
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10 . 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点
，
分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，
．的中点，连接
，，求
的值．
(2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形
，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？
的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．
的中点，连接，，求的值．(2)如图2，若以
为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？
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2023-03-21更新
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504次组卷
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4卷引用：2023年陕西省西安市未央区西航二中中考数学三模试卷
2023年陕西省西安市未央区西航二中中考数学三模试卷 天津市部分区县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（已下线）第06练 矩形-2023年【暑假分层作业】八年级数学（人教版）（已下线）考题猜想02 中心对称图形-平行四边形（进阶必刷36题9种题型）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）
