1 . 问题提出
（1）如图1，在菱形
中，
，
，
，则
的长为______；
（2）如图2，在矩形中，
，
，点
是
上一动点，连接，以
为直径的半圆与相交于点
，连接
，
，求
面积的最小值；
（3）如图3，有一个菱形花园，
，
，点
是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域
种植一种红色花卉．在三角形区域
种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足
，同时过点修建四条小路分别是
，
，
，
供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到
的距离为多少米时，
面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？
（1）如图1，在菱形
中，，，，则的长为______；
（2）如图2，在矩形
中，，，点是上一动点，连接，以为直径的半圆与相交于点，连接，，求面积的最小值；
（3）如图3，有一个菱形花园
，，，点是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域种植一种红色花卉．在三角形区域种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足，同时过点修建四条小路分别是，，，供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到的距离为多少米时，面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？
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2 . 已知，在平面直角坐标系中，
，
两点的坐标分别为点
，点
，将线段绕点逆时针旋转
得到
，连接．
(1)若
，
①如图1，若
，直接写出点
的坐标 ；
②如图1，若点
为中点，点
在
轴负半轴上一点，连接
，求证：平分
；
(2)如图2，若
为边上一点，为延长线上一点，
，连接
，将线段绕点
顺时针旋转
得到
．
①连接
，判断
的形状，并证明．
②连接
，当
，线段最短．
，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．(1)若
，①如图1，若
，直接写出点的坐标 ；②如图1，若点
为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；(2)如图2，若
为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．①连接
，判断的形状，并证明．②连接
，当 ，线段最短．
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2024-01-12更新
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78次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市光谷实验中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题
3 . 如图，在矩形中，
，
，点在边上，
，若点、
分别为边
与上两个动点，线段
始终满足与垂直且垂足为
，则
的最小值为______ ．
中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为
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2023-10-03更新
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283次组卷
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7卷引用：陕西省西安交通大学附属中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题
陕西省西安交通大学附属中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）专题23.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）（已下线）专题4.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（浙教版）（已下线）专题4.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）（已下线）专题22.7 相似三角形的八大经典模型-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（沪科版）（已下线）特色题型专练06 最值问题-四边形-备战2024年中考数学考试易错题（江苏专用）
解题方法
4 . 如图，在平行四边形
中，
，点E为
边上一点，连结
交对角线
于点F．
(1)如图，若
，
，求
的长度；
(2)如图，若
，点G，H为边的两点，连接
，
，
，且满足
．求证：
．
(3)如图，若，
，将
沿射线
方向平移，得到
，连接
，
，当
的值最小时，请直接写出的最小值．
中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．(1)如图，若
，，求的长度； (2)如图，若
，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：． (3)如图，若
，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．
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5 . 如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接
，将绕点顺时针旋转
到
，连接
，
，则当
之和取最小值时，
的周长为______ ．（用含a的代数式表示）
的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为
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2023-06-22更新
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150次组卷
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2卷引用：湖北省孝感市孝南区2022-2023学年九年级下学期5月月考数学试题
6 . 如图①．已知
是等腰直角三角形，
，点D是的中点，作正方形
，使点，分别在
和
上，连接，
．和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于
，小于或等于
），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若
，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则
___________．
②当为最小值时，则___________．
是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．
和的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形
绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若
，在（2）的旋转过程中，①当
为最大值时，则___________．②当
为最小值时，则___________．
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名校
7 . 如图，在矩形中，点为上一点，过点作
于点，连接交
于点，点恰好为
的中点．
(1)求证：
；
(2)如图1，若
，求
的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为
、上的动点，若
，请直接写出
的最小值．
中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点． (1)求证：
；(2)如图1，若
，求的值；(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为
、上的动点，若，请直接写出的最小值．
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8 . 如图1，将矩形
放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若
满足
．
(2)取中点M，连接
，
与
关于所在直线对称，连接
并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且
．点E为平面内一动点，满足
，连接
．请你求出线段长度的最大值．
放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(2)取
中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．①求
的长；②如图2，点D位于线段
上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
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2023-05-04更新
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317次组卷
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4卷引用：福建省厦门市同安区2022-2023学年八年级下学期期中质量检测数学试题
福建省厦门市同安区2022-2023学年八年级下学期期中质量检测数学试题2023年浙江省杭州市西湖区中考数学第二次模拟试题（已下线）考题猜想02 中心对称图形-平行四边形（进阶必刷36题9种题型）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
名校
9 . 如图，正方形中，点P是线段
上的动点．
(1)当
交于E时，①如图1，求证：
．
②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段
、
、
之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为
的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，
的最小值为
，求线段的长．
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2023-04-27更新
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590次组卷
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2卷引用：广东省广州市第二中学2022~2023学年八年级下学期期中考试数学试卷
名校
10 . 平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连
，连．
，点E为中点，
．若
，求
的长度；
(2)如图2，已知
，将射线沿翻折交于H，过点C作
交
于点G．若
，求证：
；
(3)如图3，已知，若
，直接写出
的最小值．
中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．
，点E为中点，．若，求的长度；(2)如图2，已知
，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；(3)如图3，已知
，若，直接写出的最小值．
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2023-04-13更新
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1160次组卷
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12卷引用：2023年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷
2023年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷（已下线）2023年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷变式题16-22题2023年广东省广州市越秀区名德实验学校中考模拟数学试题2023年广东省广州市增城区英华学校中考一模数学试题2023年广东省广州市番禺区天星学校中考二模数学试题（已下线）2023年广州等市二模（几何综合）（已下线）2023年广州等市一模（几何综合）（已下线）2023年深圳东莞二模(几何综合)四川省成都市成都教科院附属龙泉学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题重庆市育才中学校2023-2024学年八年级下学期第二次自主作业数学试题重庆市第十八中学2023-2024学年 九年级下学期第一次月考数学试题（已下线）中考难点03 几何证明压轴题（2题型+满分技巧+限时检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）
