1 . 问题提出
（1）如图1，在菱形中，，，，则的长为______；

问题探究
（2）如图2，在矩形中，，，点是上一动点，连接，以为直径的半圆与相交于点，连接，，求面积的最小值；

问题解决
（3）如图3，有一个菱形花园，，，点是菱形内一点，现需在花园内开辟三角形区域种植一种红色花卉．在三角形区域种植一种黄色花卉，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足，同时过点修建四条小路分别是，，，供游客参观．若绿植面积每平方米100元，请问当点到的距离为多少米时，面积存在最小值？并求出种植绿植需要花费多少元？

2 . 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．
(1)如图，若，，求的长度；
   
(2)如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：．
       
(3)如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．
   

3 . 如图，正方形中，点P是线段上的动点．

(1)当交于E时，

①如图1，求证：．

②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由；

(2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长．

4 . 平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．

(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．

5 . 如图，两个全等的四边形和，其中四边形的顶点O位于四边形的对角线交点O．

(1)如图1，若四边形和都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①；②重叠部分的面积始终等于四边形的；③．
(2)应用提升:如图2，若四边形和都是矩形，，写出与之间的数量关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形和都是菱形，，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上一点，菱形的边长为，，点是边上一动点（不与点，重合），点在边上，且，下列结论：
①；②的大小随点的运动而变化；③直线的解析式为；④的最小值为．
其中正确的有___________．（填写序号）

7 . 如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；
(2)当时，求的长；
(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．

8 . 问题提出
（1）如图1，点P是的平分线OC上一点，，垂足为D，若，则点P到边OB的距离是 ；
问题探究
（2）如图2，已知矩形ABCD的一边AB长为6，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足，求BC的最小值；（结果保留根号）
问题解决
（3）如图3，正方形ABCD是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中米，三条观光小路BM、BN和MN（小路宽度不计，M在AD边上，N在CD边上）拟将这个展示区分成四个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，MB平分，并且要求的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的面积最小的？若存在，请求出的面积的最小值．若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

9 . 正方形ABCD，点E在边BC上，连AE．

(1)如图1，若，，求EC长；
(2)如图2，点F在对角线AC上，满足，过点F作交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），连接AH．若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，G是AD中点，点H是直线CD上的一动点，连GH，将沿着GH翻折得到，连PB交AE于Q，连PA、PD，当最小值时，请直接写出的面积．

10 . 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．

(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．