1 . 如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________．

2 . 【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容．

如图，   在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

【定理证明】

(1)请根据材料内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】
(2)如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是__________．
(3)如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一周，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．

3 . 如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，则图像上最低点Q的坐标是______．

4 . 如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_____．

5 . 如图，等边的边长为6，点在边上，，线段在边上运动，，则四边形周长的最小值为__________．

6 . 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　）

A．8

B．10

C．12

D．20

7 . 如图，矩形中，，，点E，F将对角线三等分，点P是矩形的边上的动点．则周长的最小值为_________．

9 . （1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

10 . 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）

A．4

B．4.8

C．5

D．6