【推荐1】已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点．

图1                           图2                            图3

(1)如图1，当，且时，求的长度；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线C_外：，抛物线C_内：的对称轴为直线，且C_内的图象经过点，动直线与抛物线C_内交于点，与抛物线C_外交于点．
（1）求抛物线C_内的表达式
（2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线C_外与轴交于点，连结交轴于点，连结．
①在点上方的轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
②若平面内有一点，且，是否存在这样的点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

【推荐3】【问题探究】
（1）如图1，在正方形和正方形中，点，，在同一条直线上，连接，是线段的中点，连接，，并延长交于点，则与的位置关系是_______，数量关系是______．
【问题变式】
（2）如图2，将（1）中的正方形和正方形换成菱形和菱形，连接，是线段的中点，连接，，且．判断与的位置关系，并求的值；
（3）如图，将图中的正方形绕点逆时针旋转，使点在边上，连接，点仍为的中点，连接、，，试说明．

【推荐1】已知矩形中，，．

（1）如图，点从点开始沿以每秒个单位的速度移动，同时另一个点从点开始在线段上以每秒个单位的速度往返移动．设，运动时间为秒，当时，是否存在这样的时刻，四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图，将矩形折叠，使点与点重合，点与点重合，展平后折痕为，一动点从点出发，沿，以每秒个单位的速度移动一周，设运动的时间为秒，请直接写出当为直角三角形时的值．

【推荐2】如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．

(1)当点H落在AC边上时，求t的值；
(2)设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，取AC的中点D，连接OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）设OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0 ≤t ≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少．

【推荐2】定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

【提出问题】
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
【类比探究】
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
【综合运用】
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．

【推荐3】某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.