某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
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更新时间：2016-12-05 20:51:02
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困难
(0.15)
真题
【推荐1】如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线
上，求此时点F的坐标．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线
上，求此时点F的坐标．
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【推荐2】定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．
(1)如图1，在
的正方形网格中，有一个网格
和两个网格四边形
与四边形
，其中是被
分割成的“和谐四边形”的是______．
(2)如图2，
平分
，
，
，四边形是被分割成的“和谐四边形”，求
长；
(3)如图3，A为抛物线
的顶点，抛物线与
轴交于点B，C．在线段上有一个点
，在射线
上有一个点Q．P、Q两点分别以
个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从
出发分别沿BA，BC方向运动，设运动时间为
，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点
，使得四边形
是以
为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
(1)如图1，在
的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，
平分，，，四边形是被分割成的“和谐四边形”，求长；(3)如图3，A为抛物线
的顶点，抛物线与轴交于点B，C．在线段上有一个点，在射线上有一个点Q．P、Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从出发分别沿BA，BC方向运动，设运动时间为，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点，使得四边形是以为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
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困难
(0.15)
名校
【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 A1，0 ，B（点A在点B的左侧），交y轴与点0，3，抛物线的对称轴为直线x＝1，点D为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知经过点A的直线y＝kxbk0与抛物线在第一象限交于点E，连接AD，DE，BE，当
时，求点E的坐标．
（3）如图2，在（2）中直线AE与y轴交于点F，将点F向下平移
个单位长度得到Q，连接QB．将△OQB绕点O逆时针旋转一定的角度
（0°360°）得到
，直线
与x轴交于点G．问在旋转过程中是否存在某个位置使得
是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知经过点A的直线y＝kxbk0与抛物线在第一象限交于点E，连接AD，DE，BE，当
时，求点E的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE与y轴交于点F，将点F向下平移
个单位长度得到Q，连接QB．将△OQB绕点O逆时针旋转一定的角度（0°360°）得到，直线与x轴交于点G．问在旋转过程中是否存在某个位置使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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困难
(0.15)
【推荐1】如图1，正方形和正方形
，连接
．
(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图2，
①线段
与
之间的数量关系是_______；
②直线与直线之间的位置关系是_____．
(2)探究：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且
，判断（1）中的结论是否成立？并说明理由．
(3)应用：在（2）情况下，连接
（点
在上方），若
，且
，直接写出线段的长．
和正方形，连接． (1)发现：当正方形
绕点A旋转，如图2，①线段
与之间的数量关系是_______；②直线
与直线之间的位置关系是_____．(2)探究：如图3，若四边形
与四边形都为矩形，且，判断（1）中的结论是否成立？并说明理由．(3)应用：在（2）情况下，连接
（点在上方），若，且，直接写出线段的长．
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困难
(0.15)
【推荐2】已知，四边形是正方形，
绕点D旋转（
），
，
，连接
．
(1)如图1，求证：
；
(2)直线
与
相交于点G．
①如图2，
于点M，
于点N，求证：四边形
是正方形；
②如图3，连接
，若
，
，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
是正方形，绕点D旋转（），，，连接． (1)如图1，求证：
；(2)直线
与相交于点G．①如图2，
于点M，于点N，求证：四边形是正方形；②如图3，连接
，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
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上一动点，直线
，与
．
，
的面积为
的外接圆的切线；
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(0.15)
名校
【推荐1】菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出
+MN的最小值．
(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出
+MN的最小值．
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困难
(0.15)
【推荐2】将矩形纸片放
在平面直角坐标系中,
为坐标原点,点
在
轴上，点
在轴上，点的坐标是
，点是边上的-一个动点，将
沿
折叠，使点落在点
处．
如图①．当点恰好落在
上时，求点的坐标；
(2)如图②，当点是中点时，直线
交于点，
求证：
；
求点的坐标．
在平面直角坐标系中,为坐标原点,点在轴上，点在轴上，点的坐标是，点是边上的-一个动点，将沿折叠，使点落在点处．如图①．当点恰好落在上时，求点的坐标；(2)如图②，当点
是中点时，直线交于点，求证：；求点的坐标．
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，BD＝2，求AC的长；
，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．
