1 . 已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．

(1)若，
①如图1，若，直接写出点的坐标                   ；
②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；
(2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．
①连接，判断的形状，并证明．
②连接，当                 ，线段最短．

2 . 如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．

(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．

3 . 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

【提出问题】
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
【类比探究】
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
【综合运用】
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．

4 . （1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

5 . 如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

      

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．

7 . 已知在中，，，点 为线段 上一点，连接．

(1)如图 1 所示，在右侧作等腰，其中，．当 ， 时，求的长；
(2)如图 2 所示，在右侧作等边，连接，点为 中点，连接 交 点 ．猜想线段 与之间存在的数量关系， 并证明你的猜想；
(3)如图 3， 点为中点，将沿翻折得到，连接，点 为的中点，连接．当的值最小时，连接、，直接写出的值．

8 . 【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容．

如图，   在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

【定理证明】

(1)请根据材料内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】
(2)如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是__________．
(3)如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一周，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．

10 . 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，AC′并延长交直线DE于点P，过点D，B分别作DF⊥AP于F，BK⊥AP于K．
（1）求∠FDP的度数
（2）连接BP，试证明BP＝AF．
（3）连接BC，若正方形ABCD的边长是，请直接写出△BCP面积的最大值      ．