3 . 如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；
(2)当时，求的长；
(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．

4 . 平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．

(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．

8 . 在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2

(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．