1 . 如图，，平分，平分，和交于点，，分别是线段和线段上的动点，且，若，，则的最小值为 __．

2 . 如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为________，最大值为________．

3 . 已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．

(1)若，
①如图1，若，直接写出点的坐标                   ；
②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；
(2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．
①连接，判断的形状，并证明．
②连接，当                 ，线段最短．

5 . 正方形中，点在上，，，点在上，的最小值_____．

   

6 . 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（       ）

A．2

B．

C．

D．

7 . 小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点B为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A、D、C的对应点分别为G、F、E．
       
(1)如图①，当点G落在边上时，求的长；
(2)如图②，当点G落在线段上时，与交于点H．
①求证：；
②求的长．
(3)记点K为矩形对角线的交点，连接，记面积为S，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

8 . 如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为_______________．
      

9 . 如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．
   

10 . 如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为______．