1 . 小新同学在数学探究课上,用几何画板进行了如下操作:首先画一个正方形,一条线段,再以点A为圆心,的长为半径,画分别交于点E,交于点G,过点E,G分别作、的垂线交于点F,易得四边形也是正方形,连接.
①与的大小关系:______;
②与的大小和位置关系:______.
(2)【尝试证明】如图2,将正方形绕圆心A转动,在旋转过程中,上述①②中的关系还存在吗?请说明理由.
(3)【思维拓展】如图3,若,则:
①在旋转过程中,点B,A,G三点共线时,的值为______;
②在旋转过程中,的最大值是______.
(1)【探究发现】如图1,
①与的大小关系:______;
②与的大小和位置关系:______.
(2)【尝试证明】如图2,将正方形绕圆心A转动,在旋转过程中,上述①②中的关系还存在吗?请说明理由.
(3)【思维拓展】如图3,若,则:
①在旋转过程中,点B,A,G三点共线时,的值为______;
②在旋转过程中,的最大值是______.
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24-25九年级上·全国·课后作业
2 . 如图,在平面直角坐标系中,点C是以点为圆心,1个单位长度为半径的圆上一点,点B的坐标为,连接,D是的中点,连接,求的最大值.
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名校
3 . 【问题提出】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题:
(1)如图1,中,,E是的中点,P是边上的一动点,则的最小值为 ;
【问题探究】
(2)如图2,已知和都是等腰直角三角形,.,在直线上运动时,求的最小值;
【拓展应用】
(3)如图3,是某公园的示意图,是三处栅栏,是该公园附近的一条道路(宽度不计),半圆及其内部是一个带舞台的广场.已知,所对的圆心角为,与所在的圆相切于点C,点E、G在上,点F、H在上,点M在上,矩形是一条河流在该公园内的一段(),其中半圆的直径为, ,河岸离的距离为,河宽为,为方便运输设备,现计划垂直于河岸造桥,使得与之和最短,求出此时 的长.(结果保留根号)
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题:
(1)如图1,中,,E是的中点,P是边上的一动点,则的最小值为 ;
【问题探究】
(2)如图2,已知和都是等腰直角三角形,.,在直线上运动时,求的最小值;
【拓展应用】
(3)如图3,是某公园的示意图,是三处栅栏,是该公园附近的一条道路(宽度不计),半圆及其内部是一个带舞台的广场.已知,所对的圆心角为,与所在的圆相切于点C,点E、G在上,点F、H在上,点M在上,矩形是一条河流在该公园内的一段(),其中半圆的直径为, ,河岸离的距离为,河宽为,为方便运输设备,现计划垂直于河岸造桥,使得与之和最短,求出此时 的长.(结果保留根号)
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2024九年级下·全国·专题练习
4 . 如图,在中,,点E是的中点,点F是斜边上任意一点,连接,将沿对折得到,连接,则周长的最小值是 _______ .
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5 . 如图,已知正方形的边长为2,点F是正方形内一点,连接,且,点E是边上一动点,连接,则长度的最小值为( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
6 . 如图, 在中,,,点D是的中点, 连接,, 若P 是平面内一点, 且, 则线段长度的最大值为_______
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7 . 已知,,.
①连接,当时, ______.
②在①的条件下,若以点A为旋转中心把线段逆时针旋转,旋转后点B的对应点为点,连接,设为最大值为a,的最小值为b,则______.
③如图(2),若把线段绕点A逆时针旋转得线段,连接交于点F,求的最大值.
探究二:建立如图(3)所示的平面直角坐标系,把线段绕点A逆时针旋转得线段,再把线段逆时针旋转得线段交于点P,与的延长线交于点Q,请判断射线是否经过点Q.
探究一:如图(1),点D在上(点D不与点B,C重合),且.
①连接,当时, ______.
②在①的条件下,若以点A为旋转中心把线段逆时针旋转,旋转后点B的对应点为点,连接,设为最大值为a,的最小值为b,则______.
③如图(2),若把线段绕点A逆时针旋转得线段,连接交于点F,求的最大值.
探究二:建立如图(3)所示的平面直角坐标系,把线段绕点A逆时针旋转得线段,再把线段逆时针旋转得线段交于点P,与的延长线交于点Q,请判断射线是否经过点Q.
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8 . 如图,已知正方形的边长为2,E为的中点,F是边上的一个动点,连接,将沿折叠得,若延长交边于点M,则的取值范围______ .
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名校
9 . 在中,,,D为上任意一点,E为上任意一点.(1)如图1,连接,若,,求的长.
(2)如图2,若点D为中点,连接,点F为上任意一点,连接并延长交于点M,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接,点N在上,且,求证:.
(3)如图3,点D为中点,连接,点F为的中点,连接、,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接,H为直线上一动点,连接,将沿翻折至所在平面内,得到,连接,直接写出线段的长度的最大值.
(2)如图2,若点D为中点,连接,点F为上任意一点,连接并延长交于点M,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接,点N在上,且,求证:.
(3)如图3,点D为中点,连接,点F为的中点,连接、,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接,H为直线上一动点,连接,将沿翻折至所在平面内,得到,连接,直接写出线段的长度的最大值.
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237次组卷
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4卷引用:重庆市万州区万州第一中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
10 . 如图,在正方形中,,E是平面内一点,,以点E为直角顶点作等腰直角三角形(D、E、F为顺时针排列),连接,则的最大值为______ .
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