阅读材料：如图（1），在
中，
，点P在
边上，
于点
于点F，则
．（此结论不必证明，可直接应用）
如图（2），正方形
的边长为2，对角线
相交于点O，点P在边上，于点于点F，则
______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点
点P在边上，
交
于点E，
交
于点F，求
的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，
，点P在弦
上，
交BD于点E，
交于点F，当
时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形
面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）
如图（2），正方形
的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；(2)【类比与推理】
如图（3），矩形
的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；(3)【拓展与延伸】
四边形
是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
更新时间：2024-04-20 18:05:56
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(0.4)
【推荐1】问题提出：
（1）如图①，在
中，
，
，
，则的面积为______；
（2）如图②，在四边形ABCD中，
，
，
，
，点M，N分别为边CB，CD上两动点，且
，连接AM，AN，试说明四边形AMCN的面积是定值；
问题解决：
（3）如图③是一块平行四边形空地，其中
，
，
，点M，N分别为边CB，CD上两点，且
，连接AM，MN，AN．公司规划在
区域修建一座购物商城，在
区域修建一个顾客休息中心，在
区修建小吃城，最后中间
区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和CM的长度．
（1）如图①，在
中，，，，则的面积为______；（2）如图②，在四边形ABCD中，
，，，，点M，N分别为边CB，CD上两动点，且，连接AM，AN，试说明四边形AMCN的面积是定值；问题解决：
（3）如图③是一块平行四边形空地，其中
，，，点M，N分别为边CB，CD上两点，且，连接AM，MN，AN．公司规划在区域修建一座购物商城，在区域修建一个顾客休息中心，在区修建小吃城，最后中间区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和CM的长度．
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(0.4)
【推荐2】计算下列各题
某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元，设矩形一边长为
，面积为
平方米.
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）设计费能可以达到30000元吗？为什么？
（3）当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元，设矩形一边长为
，面积为平方米.（1）求
与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设计费能可以达到30000元吗？为什么？
（3）当
是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
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中，抛物线
与x轴交于点
和点
，与y轴交于点C．
，连接
，点P为抛物线上一点，当
时，求点P的坐标．
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名校
【推荐1】我们知道，平行四边形的对边平行且相等．利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE=
DF，又可证图中的四边形 为平行四边形，可得BC与DF的关系是 ，于是推导出了“DE
BC，DE＝BC”．
寻找图形，完成证明
（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝
BE．
构造图形，解决问题
（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出 CF与BE的数量关系．
重温定理，识别图形
（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE=
DF，又可证图中的四边形 为平行四边形，可得BC与DF的关系是 ，于是推导出了“DEBC，DE＝BC”．寻找图形，完成证明
（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝
BE．构造图形，解决问题
（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．
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(0.4)
【推荐2】正方形对角线，相交于点
，
为线段
上一点，连接
．
，
，求的长度；
(2)如图2，
为上一点，连接
，
为上一点，连接
，
，若
，
，
，求证：
；
(3)如图3，若正方形边长为
，延长交
于，在上截取
，连接交于
，连接
交
于
，连接
，直接写出的最小值．
对角线，相交于点，为线段上一点，连接．
，，求的长度；(2)如图2，
为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：；(3)如图3，若正方形
边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值．
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交
交
.
，求证：四边形
，求
，将
满足
，若
是直角三角形，直接写出
解答题-证明题
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(0.4)
【推荐1】已知，和
都是等边三角形．
(1)如图1，连接
，求证：
；
(2)如图2，若点D，E，C在一条直线上，点D，E在边的上方，与
交于点F，
，
，求
的值．
(3)将绕点B沿顺时针方向旋转，使点D在上，过点D作
，与直线交于点F，若
，直接写出
的度数．
和都是等边三角形． (1)如图1，连接
，求证：；(2)如图2，若点D，E，C在一条直线上，点D，E在边
的上方，与交于点F，，，求的值．(3)将
绕点B沿顺时针方向旋转，使点D在上，过点D作，与直线交于点F，若，直接写出的度数．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】【特例感知】
（1）如图①，是
的直径，
是的圆周角，平分交于点D，连接
．已知
，
，则
的度数为 
，点D到直线的距离为 ；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作
，垂足为M，探索线段
之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）图③，四边形为的内接四边形，
，平分
，
，求线段的长．
（1）如图①，
是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为 ，点D到直线的距离为 ；【类比迁移】
（2）如图②，
是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】
（3）图③，四边形
为的内接四边形，，平分，，求线段的长．
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于点
上的一点，
，
，求
的度数；
写出
若
，
，求
的长（用含
的代数式表示）．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图
，在中，
，
，
，如果点
由点
出发沿
方向向点
匀速运动，同时点
由点出发沿方向向点
匀速运动，它们的速度均为
，连接
，设运动时间为
，解答下列问题：
(1)用含
的代数式表示
______，
______；
(2)设
的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？
(3)如图，连接
，将
沿
翻折，得到四边形
，当四边形是菱形时，求的值．
，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为，解答下列问题：(1)用含
的代数式表示______，______；(2)设
的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？(3)如图
，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在中，
，
，点D是上一点，点E在的延长线上，且
，
(1)求证：
(2)若
，过点B作
于点M，求
的值．(用含k的代数式表示)
(3)如图2，将
沿翻折得到
，连接．若
，
，求的长．
中，，，点D是上一点，点E在的延长线上，且，(1)求证：
(2)若
，过点B作于点M，求的值．(用含k的代数式表示)(3)如图2，将
沿翻折得到，连接．若，，求的长．
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与x轴交于点
（A左B右），与y轴交于点C，连接
．
交y轴于点D，设点P的横坐标为t，
的面积为S，求S与t之间的函数解析式；
轴，垂足为H，点E为线段
上一点，连接
，且
，点Q为
，求直线
