1 . 如图，点
在
轴上，点
是抛物线
上的一个动点，连接
，取的中点
．
（1）当点在坐标轴上时，求点的坐标．
（2）当点在抛物线上运动时，
①猜想点构成的曲线是什么求出此曲线的解析式，并在网格中画出大致的图象；
②设点与点所在函数的图象分别与直线
从左至右依次相交于
，
，
，
，是否存在
的情况？请说明理由．
在轴上，点是抛物线上的一个动点，连接，取的中点．（1）当点
在坐标轴上时，求点的坐标．（2）当点
在抛物线上运动时，①猜想点
构成的曲线是什么求出此曲线的解析式，并在网格中画出大致的图象；②设点
与点所在函数的图象分别与直线从左至右依次相交于，，，，是否存在的情况？请说明理由．
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2021-05-30更新
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269次组卷
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2卷引用：2021年江西省初中名校联盟九年级综合测评卷数学试题
名校
2 . 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．
（1）如图1，画出小狗活动的区域，并求出当BC＝2m时S的值．（结果保留π）
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，设BC＝x，
①写出面积S与x的关系式；
②在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长及S的最小值．（结果保留π）
（1）如图1，画出小狗活动的区域，并求出当BC＝2m时S的值．（结果保留π）
（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，设BC＝x，
①写出面积S与x的关系式；
②在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长及S的最小值．（结果保留π）
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3 . 如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒
，
，
，
组成，其中
，
，
，
分别是菱形
四边的中点，现有一根长为
的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设
，菱形的面积为
．
（1）写出关于
的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如图3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架长度必须大于骨架长度且小于长度的两倍，现已知菱形的面积为
，则骨架和的长为多少？
，，，组成，其中，，，分别是菱形四边的中点，现有一根长为的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设，菱形的面积为．（1）写出
关于的函数关系式及自变量的取值范围；（2）如图3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架
长度必须大于骨架长度且小于长度的两倍，现已知菱形的面积为，则骨架和的长为多少？
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4 . （1）如图①，点C是
中点，
，P是
上任意一点，则线段
与
的数量关系是________．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线
分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是中点，交
于点D，连接，求的长．
（3）如图③，①将线段绕点A顺时针旋转
得到线段
，请在图③网格中画出线段；
②若存在一点P，使得
，且
，当点P的横、纵坐标均为整数时，则长度的最小值为______．
中点，，P是上任意一点，则线段与的数量关系是________．（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线
分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是中点，交于点D，连接，求的长．（3）如图③，①将线段
绕点A顺时针旋转得到线段，请在图③网格中画出线段；②若存在一点P，使得
，且，当点P的横、纵坐标均为整数时，则长度的最小值为______．
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真题
名校
5 . 下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有
，
，
三个点，且
，在
上方有五个台阶
（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶
到轴距离
．从点处向右上方沿抛物线
：
发出一个带光的点．
（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接 指出点会落在哪个台阶上；
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线
，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶
有交点；
（3）在轴上从左到右有两点
，，且
，从点向上作
轴，且
．在
沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点
横坐标的最大值比最小值大多少？
【注：（2）中不必写的取值范围】
轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．（1）求点
的横坐标，且在图中补画出轴，并会落在哪个台阶上；（2）当点
落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；（3）在
轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？【注：（2）中不必写
的取值范围】
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2021-06-22更新
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3511次组卷
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9卷引用：河北省2021年中考数学试题
河北省2021年中考数学试题（已下线）专题16 函数与其他实际运用问题【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）2022年福建省厦门市湖里中学九年级下学期适应性练习数学试题（已下线）专题03 函数-5年（2018-2022）中考1年模拟数学真题分项汇编（河北专用）江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题2022年江西省新余市第一中学中考数学模拟试卷 （已下线）22.3 实际问题与二次函数（习题）-2022-2023学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）（已下线）河北中考数学历年真题二次函数应用、综合题16-二次函数实际应用
20-21九年级上·江苏南通·期中
解题方法
6 . 定义：
叫做函数
的“反函数”．比如
就是
的“反函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（
的常数），若点
在函数的图象上，则点
也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．
根据上面的定义和提示，解答下列问题：
（1）的图象的对称轴是_______；
（2）①直接写出函数
的“反函数”的表达式为_______；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出的“反函数”的大致图象；
（3）若直线
与轴交于点，与轴交于点，与的“反函数”图象交于、两点（点的横坐标小于点的横坐标），过点作
轴，垂足为点，若
，求
的值．
叫做函数的“反函数”．比如就是的“反函数”．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．根据上面的定义和提示，解答下列问题：
（1）
的图象的对称轴是_______；（2）①直接写出函数
的“反函数”的表达式为_______；②在如图所示的平面直角坐标系中画出
的“反函数”的大致图象；（3）若直线
与轴交于点，与轴交于点，与的“反函数”图象交于、两点（点的横坐标小于点的横坐标），过点作轴，垂足为点，若，求的值．
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7 . 如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条件架，是BD＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2．
（1）写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如图3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍，现已知菱形ABCD的面积为375cm2，则骨架BD和AC的长为多少？
（1）写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如图3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍，现已知菱形ABCD的面积为375cm2，则骨架BD和AC的长为多少？
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8 . 现有规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．例如抛物线
和
都是“数轴函数”．
（1）在同一直角坐标系中直接 画出抛物线和
；
（2）
和
是“数轴函数”吗？请说明理由；
（3）若
是“数轴函数”，求
的值和它的表达式．
和都是“数轴函数”．（1）在同一直角坐标系中
和；（2）
和是“数轴函数”吗？请说明理由；（3）若
是“数轴函数”，求的值和它的表达式．
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9 . 已知二次函数y＝ax2+（3a+1）x+3（a＜0）．
（1）该函数的图象与y轴交点坐标为 ；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．
①求a的值及二次函数的表达式；
②画出二次函数的大致图象（不列表，只用其与x轴的两个交点A、B，且A在B的左侧，与y轴的交点C及其顶点D，并标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P，使△PCA为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）该函数的图象与y轴交点坐标为 ；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．
①求a的值及二次函数的表达式；
②画出二次函数的大致图象（不列表，只用其与x轴的两个交点A、B，且A在B的左侧，与y轴的交点C及其顶点D，并标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P，使△PCA为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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2020-08-13更新
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285次组卷
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2卷引用：2020年江苏省徐州市铜山区、睢宁县、邳州市等六区县（市）九年级第二次质量检测数学试题
名校
10 . 有这样一个问题：探究函数
的图象和性质．
小奥根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是_______；
（2）下表是y与x的几组对应值：
则表格中的为m为_______；
（3）如下图，在平面直角坐标系
中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是
．结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：__________；
（5）若直线
（n为常数）与该函数图像无交点，则n的取值范围为_______．
的图象和性质．小奥根据学习函数的经验，对函数
的图象和性质进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：（1）函数
的自变量x的取值范围是_______；（2）下表是y与x的几组对应值：
| x | … |  |  |  |  |  |  |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| y | … |  |  |  | | |  |  |  | 2 | m | |  | … |
（3）如下图，在平面直角坐标系
中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是
．结合函数图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：__________；（5）若直线
（n为常数）与该函数图像无交点，则n的取值范围为_______．
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2020-10-21更新
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203次组卷
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3卷引用：河南省洛阳市2019-2020学年九年级下学期东方二中6月份数学测试卷
