1 . 在边长为1的正方形中,点为线段上一动点,连接.(1)如图①,过点作于点,交直线于点.以点为直角顶点在正方形的外部作等腰,连接.求证:是等腰直角三角形;
(2)如图②,在(1)的条件下,记分别交于点,连接.
①试探究之间的数量关系;
②设,中边上的高为,请用含的代数式表示.并求的最大值.
(2)如图②,在(1)的条件下,记分别交于点,连接.
①试探究之间的数量关系;
②设,中边上的高为,请用含的代数式表示.并求的最大值.
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2 . 综合应用
如图,等边三角形的边长为a,点D,E,F分别是边,,上的动点,且满足,连接,,.
(2)设的长为x,的面积为y,求出y与x的函数表达式(用含a的式子表示);
(3)在(2)的条件下,当时,y有最小值,画出y与x的函数图象.
如图,等边三角形的边长为a,点D,E,F分别是边,,上的动点,且满足,连接,,.
(1)证明:;
(2)设的长为x,的面积为y,求出y与x的函数表达式(用含a的式子表示);
(3)在(2)的条件下,当时,y有最小值,画出y与x的函数图象.
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3 . 如图,在等边的边上分别取点D,E,F,使,连接,,.
结论Ⅰ:当时,的面积取得最小值;
结论Ⅱ:若点O是的外心,则它一定也是的外心.对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是( )
结论Ⅰ:当时,的面积取得最小值;
结论Ⅱ:若点O是的外心,则它一定也是的外心.对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是( )
A.Ⅰ和Ⅱ都对 | B.Ⅰ和Ⅱ都不对 |
C.Ⅰ不对Ⅱ对 | D.Ⅰ对Ⅱ不对 |
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4 . 如图1,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,且,抛物线的对称轴为直线.
(2)若是该抛物线的对称轴,点是顶点,点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点.
(ⅰ)如图2,连接,若的面积为3,求点的坐标;
(ⅱ)如图3,连接,与交于点,连接,,,求的最大值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若是该抛物线的对称轴,点是顶点,点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点.
(ⅰ)如图2,连接,若的面积为3,求点的坐标;
(ⅱ)如图3,连接,与交于点,连接,,,求的最大值.
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2024-05-13更新
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132次组卷
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2卷引用:安徽省阜阳市临泉县中学联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
5 . 综合与实践
问题提出
初步感悟
(1)当点P在上运动时,若,则
①______,y关于x的函数关系式为______;
②连接,则长为______.
(2)当点P在上运动时,求y关于x的函数解析式.
延伸探究
(3)如图2,将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象,请根据图象信息,解决如下问题:
①当点P的运动到使时,图像上对应点的坐标为______;
②当将正方形分成面积相等的两部分时,与正方形交于点G、H两点,请直接写出此时的长,以及自变量和函数的值.
问题提出
如图1,在中,,,点D在上,,点P沿折线运动(运动到点C停止),以为边作正方形.设点P运动的线路长为x,正方形的面积为y.
初步感悟
(1)当点P在上运动时,若,则
①______,y关于x的函数关系式为______;
②连接,则长为______.
(2)当点P在上运动时,求y关于x的函数解析式.
延伸探究
(3)如图2,将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象,请根据图象信息,解决如下问题:
①当点P的运动到使时,图像上对应点的坐标为______;
②当将正方形分成面积相等的两部分时,与正方形交于点G、H两点,请直接写出此时的长,以及自变量和函数的值.
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6 . 如图,在平面直角坐标系中,已知点、点,抛物线经过点,且顶点在线段上(与点、不重合).(1)求、的值;
(2)将抛物线向右平移()个单位,顶点落在点处,新抛物线与原抛物线的对称轴交于点,连接,交轴于点.
①如果,求 的面积;
②如果,求的值.
(2)将抛物线向右平移()个单位,顶点落在点处,新抛物线与原抛物线的对称轴交于点,连接,交轴于点.
①如果,求 的面积;
②如果,求的值.
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7 . 如图,矩形中,点在上.动点以每秒1个单位的速度从点出发,沿折线段运动.连接,过点作,交矩形的边于点,连接.已知,,.经探究,动点的运动路程为,线段与矩形的边围成三角形面积为,它们之间满足二次函数关系.(1)在动点沿运动的过程中,与的关系如图2所示,求此时关于的函数解析式;
(2)在动点由点A→D运动的过程中,当时,点停止运动,如图3,求此时关于的函数解析式;
(3)在(1)与(2)的条件下,是否存在3个路程,,,(且),使得3个路程对应的面积S均相等,请说明理由.
(2)在动点由点A→D运动的过程中,当时,点停止运动,如图3,求此时关于的函数解析式;
(3)在(1)与(2)的条件下,是否存在3个路程,,,(且),使得3个路程对应的面积S均相等,请说明理由.
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8 . 在综合实践课上,数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题,实践报告如下:
请你帮助兴趣小组解决以上问题.
活动课题 | 设计围篱笆的方案 |
活动工具 | 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 |
活动过程 | 【了解场地】如图,测出墙AD与墙AB的夹角是135°; 【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园,梯形满足,,且BC边上留一个1米宽的门EF; 【准备材料】现有篱笆(虚线部分)的长度是15m. |
解决问题 | 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大?最大面积是多少平方米? |
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名校
9 . 问题提出
(1)如图①,在中,,,,过点作,垂足为,则的面积是 ;
问题探究
(2)如图②,在中,,的面积为,为边上任意一点,,分别与点关于,对称,求出五边形周长的最小值;
问题解决
(3)某公园内有一块梯形空地,如图③所示,现计划在该空地中种植花草,已知,点,,分别在边,,上,点到的距离为米,米,,,,.根据设计要求,需要在区域内种植元平方米的花卉,其余区域内种植草坪,为提高花卉区域的观赏范围,需将的面积设计得尽可能大.试问的面积是否存在最大值?若存在,求此时种植花卉的总费用;若不存在,请说明理由.(参考数据:)
(1)如图①,在中,,,,过点作,垂足为,则的面积是 ;
问题探究
(2)如图②,在中,,的面积为,为边上任意一点,,分别与点关于,对称,求出五边形周长的最小值;
问题解决
(3)某公园内有一块梯形空地,如图③所示,现计划在该空地中种植花草,已知,点,,分别在边,,上,点到的距离为米,米,,,,.根据设计要求,需要在区域内种植元平方米的花卉,其余区域内种植草坪,为提高花卉区域的观赏范围,需将的面积设计得尽可能大.试问的面积是否存在最大值?若存在,求此时种植花卉的总费用;若不存在,请说明理由.(参考数据:)
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10 . 【生活情境】
为美化校园环境,某学校根据地形情况,要对景观带中一个长,宽的长方形水池进行加长改造(如图①,改造后的水池仍为长方形,以下简称水池1).同时,再建造一个周长为的矩形水池(如图②,以下简称水池2).
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为,加长后水池1的总面积为;设水池2的边的长为,面积为.上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③,两个函数图象的交点分别是点C和点D.
(1)分别求出与x,与x的函数关系式;
【问题解决】
(2)求水池2面积的最大值:
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时,求的取值范围;
【数学抽象】
(4)在图④的图象中,点P是此抛物线上一点,点Q是抛物线对称轴上一点,是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
为美化校园环境,某学校根据地形情况,要对景观带中一个长,宽的长方形水池进行加长改造(如图①,改造后的水池仍为长方形,以下简称水池1).同时,再建造一个周长为的矩形水池(如图②,以下简称水池2).
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为,加长后水池1的总面积为;设水池2的边的长为,面积为.上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③,两个函数图象的交点分别是点C和点D.
(1)分别求出与x,与x的函数关系式;
【问题解决】
(2)求水池2面积的最大值:
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时,求的取值范围;
【数学抽象】
(4)在图④的图象中,点P是此抛物线上一点,点Q是抛物线对称轴上一点,是否存在以点C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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