1 . 如图,在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)要使折成的长方体盒子的底面积为,那么剪掉的正方形的边长为多少?
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长;如果没有,请说明理由.
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长;如果没有,请说明理由.
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解题方法
2 . 在一次数学社团活动中,小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为,对称轴相同,且图象与x轴交点也相同的二次函数,命名为“和合对称二次函数”,对应图象命名为“和合对称抛物线”,并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”,针对该构想,小展同学用二次函数作为其中一个函数(标记该函数图象交轴于原点及点)做了有关研究,请你帮他解答.
【特例感知】(1)当时,如图,抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为,.如下表:
②画图:在图中描出表中对应的“和合点”,再用平滑的曲线依次连接各点,得到“和合对称抛物线”图象.
【初步探讨】(2)①当时,若抛物线的顶点为点,点对应的“和合点”为点,则由点、四点所围成的四边形的面积为______;
②在同一平面直角坐标系中,当取不同值时,通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中,存在一条抛物线,其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数,请求出抛物线的解析式.
【进阶探究】(3)若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点,求的值.
【特例感知】(1)当时,如图,抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为,.如下表:
… | … | |||||
… | … |
①补全表格;
②画图:在图中描出表中对应的“和合点”,再用平滑的曲线依次连接各点,得到“和合对称抛物线”图象.
【初步探讨】(2)①当时,若抛物线的顶点为点,点对应的“和合点”为点,则由点、四点所围成的四边形的面积为______;
②在同一平面直角坐标系中,当取不同值时,通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中,存在一条抛物线,其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数,请求出抛物线的解析式.
【进阶探究】(3)若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点,求的值.
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3 . 一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地,而栅栏构成另外三边.农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造,每段栅栏不可分割,且所有栅栏全部用完 .设这个矩形地块的长为米,矩形面积为平方米.(1)求关于的函数表达式;
(2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割 ,当取何值时,所围矩形土地的面积最大.
(2)考虑到围出矩形的
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名校
4 . 某养殖户准备围建一个矩形鸡舍,其中一边靠墙,另外的边(虚线部分)用长为28米的篱笆围成,并将矩形鸡舍分成两个相同的房间,每个房间并各留出宽1米的门方便进出.已知墙的长度为12米,设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米,鸡舍的面积为S.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求出鸡舍的面积S的最大值,此时x为多少米?
(2)求出鸡舍的面积S的最大值,此时x为多少米?
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5 . 综合运用
如图,在中,,过点作的垂线段,垂足为,连接,且.
(2)以点为中心,按逆时针方向旋转一周,使旋转后得到的的边恰好经过点(点不与点重合),求此时旋转角的度数.
(3)在(2)的条件下,将沿向右平移个单位长度,设平移后的图形与重叠部分的面积为,当时,求与的函数关系式.
如图,在中,,过点作的垂线段,垂足为,连接,且.
(1)求线段的长.
(2)以点为中心,按逆时针方向旋转一周,使旋转后得到的的边恰好经过点(点不与点重合),求此时旋转角的度数.
(3)在(2)的条件下,将沿向右平移个单位长度,设平移后的图形与重叠部分的面积为,当时,求与的函数关系式.
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6 . 已知正方形的边长为,则它的面积与边长的函数图象为( )
A. | B. |
C. | D. |
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7 . 为了节省材料,某工厂以岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域(如图),若米,则给出下列四个结论:①米,②;③;④长方形的最大面积为300平方米,其中,正确的是________ .
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8 . 已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )
A.6.25 cm2 | B.12.5 cm2 | C.25 cm2 | D.31.25 cm2 |
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9 . 如图,若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形,则所围成的的最大面积为( )
A. | B. | C. | D. |
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名校
10 . 问题情境:
“综合与实践”课上,老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动.
第1步:有一张矩形纸片,在边上取一点沿翻折,使点落在矩形内部处;
第2步:再次翻折矩形,使与所在直线重合,点落在直线上的点处,折痕为.
翻折后的纸片如图1所示(1)的度数为____________;
(2)若,求的最大值;
拓展应用:
(3)一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片,其中的一边与矩形纸片的一边重合,,,求该矩形纸片的面积.
“综合与实践”课上,老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动.
第1步:有一张矩形纸片,在边上取一点沿翻折,使点落在矩形内部处;
第2步:再次翻折矩形,使与所在直线重合,点落在直线上的点处,折痕为.
翻折后的纸片如图1所示(1)的度数为____________;
(2)若,求的最大值;
拓展应用:
(3)一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片,其中的一边与矩形纸片的一边重合,,,求该矩形纸片的面积.
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2024-04-22更新
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293次组卷
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3卷引用:2024年江苏省南通市海安市九年级中考一模数学试题