【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），D是OA的中点，OE⊥CD交BC于点E，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OE运动．
（1）求直线OE的解析式；
（2）设以C，P，D，B为顶点的凸四边形的面积为S，点P的运动时间为t（单位：秒），求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
（3）设点N为矩形的中心，则在点P运动过程中，是否存在点P，使以P，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知关于x的二次函数y＝ax²﹣4ax+a+1（a＞0）
（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；
（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；
（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．

【推荐2】【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水泡（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池的边加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，则关于x的函数表达式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是______，此时的值是_______；
（2）在范围内，求两个水池面积差的最大值；
（3）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数表达式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值．

【推荐3】如图，抛物线y＝ax²＋bx＋4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）若抛物线上有且仅有三个点M₁、M₂、M₃，使得△M₁BC、△M₂BC、△M₃BC的面积均为定值S，求出满足条件的定值S．

【推荐1】在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．

（1）求与的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？

【推荐2】如图，在中，，厘米，厘米．两个动点P，Q分别从A，C两点同时按顺时针方向沿的边运动．当点Q运动到点A时，P，Q两点运动即停止．点P，Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动的时间为t（秒）．记线段与从点P按顺时针方向沿的边到点Q的折线段所围成的图形的面积为S（平方厘米）．
   
(1)用含t的代数式表示PC的长；
(2)当点P，Q运动时，求S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)点P，Q在运动的过程中，S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

【推荐3】已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．