【推荐1】如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；
（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

【推荐2】如图，四边形中，，，，将绕着点顺时针旋转得 ，连接 ，．
（1）求证：≌；
（2）求证：；
（3）若，点在四边形内部运动，且满足，求点运动路径的长度．

【推荐3】在中，，，将绕点旋转角得，交于点，分别交、于、两点．
在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？证明你的结论；
当时，试判断四边形的形状，并说明理由；
在的情况下，求线段的长．

【推荐1】如图，已知和均为的等边三角形，点为的中点，过点与平行的直线交射线于点．
（1）当，，三点在同一直线上时（如图1），求证：为中点；

（2）将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时（如图2），求证：为等边三角形；
（3）将图2中绕点继续顺时针旋转多少度时，点恰好第一次位于线段中点，试作出图形并直接写出绕点继续旋转的度数．

【推荐2】如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；
(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．
(3)已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．
   

【推荐3】（2017四川省巴中市，第31题，12分）如图，已知两直线l₁，l₂分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l₁、l₂、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；
（3）若直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

【推荐2】已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，顶点为点D，如图1所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，将△OCN绕着点N顺时针旋转得到，在旋转过程中，连接，当首次出现时．求直线的函数表达式．

【推荐3】（1）【方法尝试】

如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．则与数量关系_______，位置关系________；

（2）【类比迁移】

如图2，在和中，．将绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角为α（），连接．请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）【拓展延伸】

如图3，在中，，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值和最小值．