【推荐1】如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

(1)求点C及顶点M的坐标．
(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值．
(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图①，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A和点B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P和点N，若以B，P，N为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）如图②，点M′（0，k）在射线BO上自由运动，过点M′垂直于y轴的直线与直线AB交于点Q，与y轴右侧的抛物线交于点N′，若三个点M′，Q，N′中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M′，Q，N′三点为“和谐点”．请直接写出使得M′，Q，N′三点成为“和谐点”的k的值．

【推荐3】抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0）．
①直接写出抛物线的解析式；
②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；
（2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x²+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．
①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；
②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？

【推荐2】定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为3．

（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式          ，自变量的取值范围是          ；
（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；
（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

【推荐3】已知抛物线于经过点，并与x轴交于另一点B，交y轴于点C，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线BC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点D，交直线BC于点E，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)已知点M为抛物线对称轴l上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得点M与点N关于直线BC对称，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．