8.2 立体图形的直观图

例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

画法：（1）如图8.2-4（1），在正六边形$ABCDEF$中，取$AD$所在直线为x轴，$AD$的垂直平分线$MN$为y轴，两轴相交于点O.在图8.2-4（2）中，画相应的$x^{\prime }$轴与$y^{\prime }$轴，两轴相交于点$O^{\prime }$，使$\angle x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }=45°$.

（2）在图8.2-4（2）中，以$O^{\prime }$为中点，在$x^{\prime }$轴上取$A^{\prime }{D}^{\prime }=AD$，在$y^{\prime }$轴上取$M^{\prime }{N}^{\prime }=\frac{1}{2}MN$.以点$N^{\prime }$为中点，画$B^{\prime }{C}^{\prime }$平行于$x^{\prime }$轴，并且等于$BC$；再以$M^{\prime }$为中点，画$F^{\prime }{E}^{\prime }$平行于$x^{\prime }$轴，并且等于$FE$.

（3）连接$A^{\prime }{B}^{\prime }$，$C^{\prime }{D}^{\prime }$，$D^{\prime }{E}^{\prime }$，$F^{\prime }{A}^{\prime }$，并擦去辅助线$x^{\prime }$轴和$y^{\prime }$轴，便获得正六边形$ABCDEF$水平放置的直观图$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$（图8.2-4（3））.

练习

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．

例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.

分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱，为画图筒便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴.

画法：（1）画轴.如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点$O\left(A\right)$，使$\angle xOy=45°$，$\angle xOz=90°$.

（2）画底面.在x轴正半轴上取线段$AB$，使$AB=3\text{cm}$；在y轴正半轴上取线段$AD$，使$AD=1\text{cm}$.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则$▱ABCD$就是长方体的底面$ABCD$的直观图.

（3）画侧棱.在x轴正半轴上取线段$A{A}^{\prime }$，使$A{A}^{\prime }=1.5\text{cm}$，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段$B{B}^{\prime }$，$C{C}^{\prime }$，$D{D}^{\prime }$.

（4）成图.顺次连接$A^{\prime }$，$B^{\prime }$，$C^{\prime }$，$D^{\prime }$，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.

例3已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.

解：（1）画轴.如图8.2-7，画x轴、z轴，使$\angle xOz=90°$.

（2）画下底面.以O为中点，在x轴上取线段$AB$，使$OA=OB=1\text{cm}$.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.

（3）画上底面.在$Oz$上截取点$O^{\prime }$，使$O{O}^{\prime }=3\text{cm}$，过点$O^{\prime }$作平行于轴$Ox$的轴$O^{\prime }{x}^{\prime }$.类似下底面的作法作出圆柱的上底面.

（4）成图.连接$A{A}^{\prime }$，$B{B}^{\prime }$，整理得到圆柱的直观图.

例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.

分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.

画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.

练习

习题8.2

复习巩固

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内写正确，错误的写错误．

综合运用

拓广探索

8．画出你所在学校的一些建筑物的直观图（尺寸自定）．

变式练习题

20-21高一·全国·课后作业

解答题-问答题 | 较易(0.85)

画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．

2021-12-02更新 | 496次组卷 | 5卷引用：8.2 立体图形的直观图

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2020高一·全国·专题练习

解答题-作图题 | 容易(0.94)

如图所示，梯形A₁B₁C₁D₁是一平面图形ABCD的直观图.若A₁D₁∥O′y′，A₁B₁∥C₁D₁，A₁B₁＝ C₁D₁＝2，A₁D₁＝O′D₁＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积.

2020-05-13更新 | 1067次组卷 | 7卷引用：第十三章　立体几何初步（知识归纳+题型突破）（1）-单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

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20-21高一·全国·课后作业

单选题 | 较易(0.85)

名校

如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（       ）

A．	B．
C．	D．

2021-12-02更新 | 934次组卷 | 10卷引用：广东省佛山市顺德德胜学校2020-2021学年高二上学期期中数学试题

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单选题 | 较易(0.85)

如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（       ）

A．2S

B．S

C．2S

D．S

2020-06-12更新 | 626次组卷

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