【推荐1】已知动圆与圆外切，与轴相切，记圆心的轨迹为曲线，．
(1)求的方程；
(2)若斜率为4的直线交于、两点，直线、分别交曲线于另一点、，证明：直线过定点．

【推荐2】已知，，其中，，且函数在处取得最大值.
（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.

【推荐3】如图，已知、，、分别为的外心，重心，.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）是否存在过的直线交曲线于，两点且满足，若存在求出的方程，若不存在请说明理由.

【推荐1】椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；
（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.

【推荐2】设圆，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作 的平行线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且不与轴垂直的直线交轨迹于两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值．