【推荐1】2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在内的概率．

【推荐3】甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．

已知甲测试成绩的中位数为75．
（1）求，的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．
（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人答对其中每道题的概率都是，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为，其中
①求，；
②求证为等比数列，并求的表达式．

【推荐2】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：

	分数不少于120分	分数不足120分	合计
线上学习时间不少于5小时		4	19
线上学习时间不足5小时
合计			45

（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式其中）

【推荐3】某班有男､女生各25人，某次数学考试成绩分布如下表：

成绩
男生	3	4	5	7	3	3
女生	2	6	6	7	3	1

(1)若不低于130分为优秀，则从全班同学中任意抽取3人，记X为成绩优秀的同学人数，求X的分布列；
(2)补充列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩优秀与性别有关系？

性别	是否优秀		合计
	数学成绩优秀	数学成绩不优秀
男生
女生
合计

附：，其中.

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706

【推荐1】某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；
(2)他能过关的概率．

【推荐2】单板滑雪U型池比赛是2022年北京冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙两人在2021年A赛季中单板滑雪U型池成绩如下表：

分站	运动员甲的三次滑行成绩			运动员乙的三次滑行成绩
	第1次	第2次	第3次	第1次	第2次	第3次
第1站	80.20	85.00	83.03	80.11	88.00	79.02
第2站	82.13	86.31	89.00	79.32	81.22	88.00
第3站	79.10	80.01	87.00	88.50	75.36	87.10
第4站	84.02	91.00	86.71	75.13	88.00	81.01
第5站	80.02	79.36	88.00	85.40	86.04	87.50

假设甲、乙两人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(2)请从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，并说明你的理由（言之有理即可）；
(3)根据大数据分析得知，如果让运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，他在北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩X近似服从正态分布，其中、可用他在2021年A赛季中单板滑雪U型池的平均成绩与方差近似代替，求运动员甲参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛的成绩在86分~92分的概率．
附：①若随机变量X服从正态分布，则，，．
②方差，其中为，，…，的平均数．

【推荐3】某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；
(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的列联表．

体育成绩	学业成绩		合计
	优秀	不优秀
不优秀	200	400	600
优秀	100	100	200
合计	300	500	800

根据小概率值的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量，其中．
临界值表：

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828