【推荐1】双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k₁，k₂，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．

【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点．

【推荐3】已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．

【推荐1】已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，连接，分别交于轴于点，，且，求直线的方程及的面积．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.

【推荐3】已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．

【推荐1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值．

【推荐2】已知双曲线：（，）交轴于两点，是双曲线上异于的任意一点，直线分别交轴于点，，且双曲线离心率为2.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线l：（）与双曲线交于两点，为双曲线虚轴在轴正半轴的端点，若，求实数的取值范围.

【推荐3】已知双曲线以、为焦点，且过点
（1）求双曲线与其渐近线的方程；
（2）是否存在斜率为2的直线与双曲线右支相交于两点，且（为坐标原点）.若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．