某校20名学生的数学成绩
和知识竞赛成绩
如下表：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
数学成绩 | 100 | 99 | 96 | 93 | 90 | 88 | 85 | 83 | 80 | 77 |
知识竞赛成绩 | 290 | 160 | 220 | 200 | 65 | 70 | 90 | 100 | 60 | 270 |
学生编号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
数学成绩 | 75 | 74 | 72 | 70 | 68 | 66 | 60 | 50 | 39 | 35 |
知识竞赛成绩 | 45 | 35 | 40 | 50 | 25 | 30 | 20 | 15 | 10 | 5 |
计算可得数学成绩的平均值是
，知识竞赛成绩的平均值是
，并且
，
，
．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到
）．(2)设
，变量
和变量
的一组样本数据为
，其中
两两不相同，
两两不相同．记
在
中的排名是第
位，
在
中的排名是第
位，
．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为
）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．（i）记
，．证明：
．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．
；
；
．
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更新时间：2023-05-19 18:09:28
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解题方法
【推荐1】移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型
（随机误差
）．请推导：当随机误差平方和Q＝
取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量
，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数
，
，
，
，
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型
（随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．(ii)令变量
，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数
，，，，
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解答题-问答题
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【推荐2】近年来，“共享汽车”在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解“共享汽车”在M省的发展情况，M省某调查机构从该省随机拍取了5个城市，分别收集和分析了“共享汽车”的A，B，C三项指标数据，，
，数据如下表所示；
(1)分别求y与x之间的相关系数
及z与x之间的相关系数
，并比较y与x，z与x之间相关性的强弱；
(2)利用向量夹角来分析y与x之间及z与x之间的相关关系．
附：相关系数
．
参考数据：
，
，
，
，
，
，
．
，，，数据如下表所示；城市编号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A指标 | 4 | 6 | 2 | 8 | 5 |
B指标 | 4 | 4 | 3 | 5 | 4 |
C指标 | 3 | 6 | 2 | 5 | 4 |
及z与x之间的相关系数，并比较y与x，z与x之间相关性的强弱；(2)利用向量夹角来分析y与x之间及z与x之间的相关关系．
附：相关系数
．参考数据：
，，，，，，．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】某校20名学生的数学成绩
和知识竞赛成绩
如下表：
计算可得数学成绩的平均值是
，知识竞赛成绩的平均值是
，并且
，
，
.
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)设，变量和变量的一组样本数据为
，其中
两两不相同，
两两不相同.记在
中的排名是第位，在
中的排名是第位，
.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.
（i）记，.证明：；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；
；.
和知识竞赛成绩如下表：| 学生编号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数学成绩 | 100 | 99 | 96 | 93 | 90 | 88 | 85 | 83 | 80 | 77 |
| 知识竞赛成绩 | 290 | 160 | 220 | 200 | 65 | 70 | 90 | 100 | 60 | 270 |
| 学生编号i | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 数学成绩 | 75 | 74 | 72 | 70 | 68 | 66 | 60 | 50 | 39 | 35 |
| 知识竞赛成绩 | 45 | 35 | 40 | 50 | 25 | 30 | 20 | 15 | 10 | 5 |
，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，.(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)设
，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.（i）记
，.证明：；（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；；.
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐2】某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用
表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，
，依据散点图的特征分别写出
的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数
的数值，部分结果如下表所示：
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
(1)用
表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数
的数值，部分结果如下表所示：| 年份 | 1997-2016 | 2007-2016 |
| 线性回归模型 | 0.9306 | |
| 指数回归模型 | 0.9899 | 0.978 |
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐3】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）
（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：
，物理分数从小到大排序是：
．
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：
根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数
；回归直线的方程是：
，其中对应的回归估计值
，
，
是与对应的回归估计值．
参考数据：
，
，
，
，
，
，
，
．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）
（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：
，物理分数从小到大排序是：．①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：
| 学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 数学分数x | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
| 物理分数y | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数
；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值，，是与对应的回归估计值．参考数据：
，，，，，，，．
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解答题-计算题
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较难
(0.4)
【推荐1】下表是中国近年来人口数据（不包括香港、澳门特别行政区和台湾省）：
(1)在平面直角坐标系内标出这四个点，再把这些点连接成线；
(2)选择其中合适的两个点，建立一次函数模拟，用模拟函数预测2017年中国人口数；
(3)能否用“更好”的直线
来模拟这组数据的变化？也就是说，能否确定
，
的值，使式子
的值最小？（按如下步骤进行预测）
①化简S，使之成为字母的二次三项式；
②当取何值时（设为
），二次三项式S取最小值（设为
），这里和都应该是含字母的式子，且是字母的二次三项式；
③求的值
，使取最小值；
④求出对应于上述的值；
⑤用一次函数
模拟数据的变化，用模拟函数预测2017年中国人口数．
(4)把所得到的两个预测数据和2017年中国实际人口数进行比较．
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
人口数 | 13.61亿 | 13.68亿 | 13.75亿 | 13.83亿 |
(2)选择其中合适的两个点，建立一次函数模拟，用模拟函数预测2017年中国人口数；
(3)能否用“更好”的直线
来模拟这组数据的变化？也就是说，能否确定，的值，使式子的值最小？（按如下步骤进行预测）①化简S，使之成为字母
的二次三项式；②当
取何值时（设为），二次三项式S取最小值（设为），这里和都应该是含字母的式子，且是字母的二次三项式；③求
的值，使取最小值；④求出对应于上述
的值；⑤用一次函数
模拟数据的变化，用模拟函数预测2017年中国人口数．(4)把所得到的两个预测数据和2017年中国实际人口数进行比较．
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，
，
，
，
．指标
可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为
．设
．
，求
，求
有相同可能取值的随机变量
，证明：
，并指出取等号的充要条件
